В пятнадцатилетнем возрасте Хандошкин был принят на службу в Придворный театр, а с 1764 года начинает работать в Придворном оркестре сначала скрипачом, а затем капельмейстером. Он получает 1100 рублей жалования в год, в то время как А. Лолли, выполнявший аналогичные функции, получал 4000 рублей. И здесь сказывалось отношение официальных кругов к национальным артистам.
Одновременно (с 1764 года) Хандошкин становится первым учителем и организатором музыкальных классов «Воспитательного училища» при Академии художеств, где давалось разностороннее образование начинающим художникам и скульпторам. У Хандошкина было двенадцать учеников. Затем он преподает и в скрипичном классе частного оперного театра Книппера, где обучает детей, отобранных из московского «воспитательного дома». Педагогическая работа Хандошкина была весьма успешной. Среди его учеников мы находим имена известных позднее скрипачей: А. И. Боброва, И. В. Колесина, А. И. Соколова, Г. Н. Теплова, П. А. Смирнова.
В начале 80-х годов Хандошкин принимает деятельное участие в качестве репетитора, первого скрипача и дирижера в постановках балетов вместе со знаменитым французским реформатором балета Г. Анджолини. Одновременно он занимает должность камер-музыканта, играет при дворе, дает концерты в театре Книппера, служит первым скрипачом обоих придворных оркестров.
В Амстердаме издаются его сочинения — «Шесть сонатов на две скрыпки», как сообщали «Московские ведомости» (1781, № 104). Вероятно все же, что это были не сонаты, а одно из первых опубликованных сочинений Хандошкина - Шесть российских песен с вариациями для двух скрипок, изданных позднее и в Петербурге.
В 1783 году в Петербурге выходит из печати его сборник «Шесть старинных русских песен для скрипки и алто-виолы». По сведениям Одоевского, Хандошкин был автором и нескольких придворных балетов. О популярности Хандошкина свидетельствует и факт избрания его почетным членом музыкального общества, куда имели доступ только выдающиеся артисты.
Переломным в судьбе Хандошкина был 1785 год, когда князю Г. А. Потемкину, большому любителю музыки, содержавшему собственную инструментальную капеллу, и поклоннику искусства Хандошкина, пришла мысль организовать при Екатеринославском университете «консерваторию для музыки». Потемкин добился от Екатерины II указа об увольнении Хандошкина на пенсию с небольшим придворным чином «мундшенка» и поручил ему сначала руководство университетом, в котором должна была быть создана «консерватория» («Музыкальная академия»). Пенсия Хандошкину была определена в половину жалования, которое он получал. На место Хандошкина в придворный оркестр был назначен русский скрипач А. М. Сыромятников.