Фейнмановские лекции по физике 5 (Фейнман) - страница 34

и Г_>2 (фиг. 3.8). Контур Г_>1 состоит из Г_>a — части первоначальной кривой слева от (1) и (2) и «соединения» Г_>ab>. Контур Г_>2 состоит из остатка первоначальной кривой плюс то же соединение.

Циркуляция вдоль Г_>1 есть сумма интеграла вдоль Г_>а и вдоль Г_>аЬ. Точно так же и циркуляция вдоль Г_>2 есть сумма двух ча­стей, одной вдоль Г_>b, другой — вдоль Г_>ab. Интеграл вдоль Г_>ab>для кривой Г_>2 имеет знак, противоположный тому знаку, кото­рый он имел для кривой Г_>1>, потому что направления обхода противоположны (в обоих криволинейных интегралах направ­ления поворота нужно брать одни и те же).

Повторяя прежние аргументы, мы можем убедиться, что сумма двух циркуляции даст как раз криволинейный интеграл вдоль первоначальной кривой Г. Интегралы по Г_>ab сократятся. Циркуляция по одной части плюс циркуляция вдоль другой равняется циркуляции вдоль внешней линии. Этот процесс раз­резания большого контура на меньшие можно продолжить. При сложении циркуляции по меньшим контурам смежные части будут сокращаться, так что сумма их сведется к цирку­ляции вдоль единственного первоначального контура.

Теперь предположим, что первоначальный контур — это граница некоторой поверхности. Существует бесконечное мно­жество поверхностей, границей которых служит все тот же первоначальный замкнутый контур. Наши результаты не зави­сят, однако, от выбора этих поверхностей. Сперва мы разобьем наш первоначальный контур на множество малых контуров, лежащих на выбранной поверхности (фиг. 3.9).

Фиг. 3.9. Некоторая поверх­ность, ограниченная конту­ром Г.

Поверхность разделена на множе­ство маленьких участков, каждый примерно в форме квадрата. Цир­куляция по Г есть сумма циркуля­ции по всем маленьким контурам.

Какой бы ни была форма поверхности, но если малые контуры сделать до­статочно малыми, всегда можно будет считать каждый из них замыкающим достаточно плоскую поверхность. Кроме того, каждый из них можно сделать очень похожим на квадрат. И циркуляцию вокруг большого контура Г можно найти, под­считав циркуляции по всем квадратикам и сложив их.

§ 6. Циркуляция по квадрату; теорема Стокса

Как нам найти циркуляцию по каждому квадратику? Все зависит от того, как квадрат ориентирован в пространстве. Если ориентация его подобрана удачно (к примеру, он распо­ложен в одной из координатных плоскостей), то расчет сде­лать легко. Так как пока мы не делали никаких предположений об ориентации осей координат, мы вправе выбрать их так, чтобы тот квадратик, на котором мы сосредоточили свое вни­мание, оказался в плоскости ху (фиг. 3.10). Если результат расчета будет выражен в векторной записи, то можно говорить, что он не зависит от специальной ориентации плоскости.