Фейнмановские лекции по физике 5 (Фейнман) - страница 35

Фиг. 3.10. Вычисление цирку­ляции вектора С по маленькому квадратику.

Мы хотим теперь найти циркуляцию поля С по нашему квад­ратику. Криволинейное интегрирование легко проделать, если квадратик сделать таким маленьким, чтобы вектор С на про­тяжении одной стороны квадрата менялся очень мало. (Это предположение выполняется тем лучше, чем меньше квадратик, так что на самом деле речь идет о бесконечно малых квадра­тиках.) Отправившись от точки (х, у) — в левом нижнем углу фигуры,— мы обойдем весь квадрат в направлении, указанном стрелками. Вдоль первой стороны, отмеченной цифрой 1, ка­сательная составляющая равна С_>х(1),а расстояние равно Dх. Первая часть интеграла равна C_>x(1) Dх, Вдоль второй стороны получится С_>у(2) Dy. Вдоль третьей мы получим -С_>x(3) Dх, а вдоль четвертой -C_>y(4) Dy. Знаки минус стоят потому, что нас интересует касательная составляющая в направлении об­хода. Весь криволинейный интеграл тогда равен

(3.31) Посмотрим теперь на первый и третий члены. В сумме они дают

(3.32)

Вам может показаться, что в принятом приближении эта раз­ность равна нулю. Но это только в первом приближении. Мы можем быть более точными и учесть скорость изменения С_>х>, тогда можно написать

(3.33)

В следующем приближении пойдут члены с (Dy)^>2, но ввиду того, что нас интересует в конечном счете только предел при Dy®0, то этими членами можно пренебречь. Подставляя (3.33) в (3.32), мы получаем

(3.34)

Производную при нашей точности можно брать в точке (х, у). Подобным же образом оставшиеся два члена можно написать в виде

(3.35)

и циркуляция по квадрату тогда равна

(3.36)

Интересно, что в скобках получилась как раз z-компонента ротора С. Множитель DxDy— это площадь нашего квадрата. Так что циркуляцию (3.36) можно записать как

(СXС)_>zDа.

Но z-компонента это на самом деле компонента, нормальнаяк элементу поверхности.

Фиг. 3.11. Циркуляция век­тора С по Г равна поверхност­ному интегралу от нормальной компоненты вектора СXС.

Поэтому циркуляцию вокруг квад­ратика можно задать и в инвариантной векторной записи:

(3.37)

В результате имеем: циркуляция произвольного вектора С по бесконечно малому квадрату равна произведению состав­ляющей ротора С, нормальной к поверхности, на площадь квад­рата.

Циркуляция по произвольному контуру Г легко теперь может быть увязана с ротором векторного поля. Натянем на кон­тур любую подходящую поверхность S(как на фиг. 3.11) и сложим между собой циркуляции по всем бесконечно малым квадратикам на этой поверхности. Сумма может быть записана в виде интеграла. В итоге получится очень полезная теорема, называемая теоремой Стокса [по имени физика Стокса].