Евклид. Геометрия (Carrera) - страница 54

Рассмотрим, как Архимед использовал метод исчерпывания для решения задачи о квадратуре параболы. В некотором смысле оно похоже на решение задачи о квадратуре круга, предложенное Евклидом. Его основная цель — вписать в площадь параболы треугольники и сложить их площади, уже известные нам. Архимед писал:

Квадратура параболы. Площадь сегмента параболы относится к площади вписанного в нее треугольника как один к трем.

Рассмотрим треугольник АСВ, вписанный в сегмент параболы ADCEBA, где вершина С — точка, через которую проходит касательная к параболе, параллельная хорде АВ. В этом случае Архимед утверждал, что площадь S (ADCEBA) равна 4/3 площади треугольника Т = АСВ. То есть

S(ADCEBA) = 4/3 x S(ΔABC) = 4/3 х Т,

Теперь мы должны вписать в оставшиеся сегменты параболы треугольники Т_>1 = ADC, Т_>2 = ВЕС и сегменты ADA, DCD, СЕС, ВЕВ и так до бесконечности, поскольку величины делимы до бесконечности. Все это бесконечное множество треугольников покрывает площадь, равную трети треугольника Т=АСВ. Тем не менее прибегать к бесконечному необязательно, так как мы можем воспользоваться методом исчерпывания. Можно убедиться с помощью танграма, что треугольники Т_>1 = ADC и Т_>2 = ВЕС «покрывают соответственно больше половины сегментов параболы ADCA и ВЕСВ». Очевидно, что площадь треугольника T_>1=ADC равна половине прямоугольника АН. При этом сегмент параболы ADCEBA меньше этого прямоугольника.

Следовательно, Т_>1 = ADC покрывает больше половины сегмента ADCEBA. То же самое происходит с Т_>1 = ADC, сегментом параболы СЕВС и прямоугольником CF. Такой метод рассуждений справедлив последовательно для каждого остающегося сегмента параболы. Важно обратить внимание на то, что хотя в данном случае мы применили его к параболе, он работает и для других кривых, включая окружности.

Однако полностью потенциал этого метода раскрыл Архимед, самый выдающийся математик античности.

Евклид дает следующее определение методу исчерпывания:

Книга X, предложение 1. Для двух заданных неравных величину если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины.

Это предложение равнозначно определению 4 книги V: если верно одно, то верно и другое, и наоборот. Архимед обратил на это внимание и решил ввести предложение в ранг постулата, который сегодня известен как принцип (или аксиома, или свойство) Архимеда.

Принцип Архимеда. Если имеются две величины одного порядка А и B_>f то всегда существует натуральное число п