Евклид. Геометрия (Carrera) - страница 55

Доказав предложение 7 книги XII, Евклид решил задачу расчета объема пирамиды, унаследованную от египетских математиков. Вопрос о возможности ее решения с помощью метода танграма стоял на третьем месте в составленном Давидом Гильбертом в начале прошлого века списке из 23 задач, представляющих особый интерес для математики. Ответ, разумеется, был отрицательным. А предложение 2 дает ответ на один из важнейших вопросов классической геометрии, которому и посвящена следующая глава.

Одним из главных достижений пифагорейской школы было открытие возможности построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Но было ли это справедливо для круга и других фигур с одной или всеми изогнутыми сторонами? Этот вопрос занимал не только математиков, но и мыслителей, и со временем выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой задачи.

Метод танграма позволяет построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Вследствие любви к обобщению древнегреческие геометры задавались вопросом: можно ли свести к квадрату фигуры с округленными сторонами и, в частности, идеальную фигуру — круг? Первым к решению этой задачи приступил гениальный математик Гиппократ Хиосский. Он разработал серповидные фигуры (гиппократовы луночки): одну над окружностью, другую — над меньшей частью окружности и еще одну — над ее большей частью. Для доказательства, основанного на методе танграма, Гиппократу были необходимы два результата:

— теорема Пифагора;

— доказательство того, что соотношение площадей двух окружностей равно соотношению квадратов их диаметров.

Маловероятно, что Гиппократ располагал этими доказательствами: скорее всего, он интуитивно догадался об их существовании. Сейчас мы подробно рассмотрим решение задачи квадратуры луночки над окружностью.

Рассмотрим дугу AGB, проведенную над стороной АВ квадрата ADEB_>y и полуокружность АСВ. Между ними находится луночка AGBCAy выделенная на рисунке 1 серым цветом. Докажем, что ее площадь равна площади равнобедренного ΔАСВ. Луночка состоит из треугольника АСВ за вычетом сегмента S плюс два равных сегмента S_>1 и S_>2:

площадь AGBCA = площади АСВ — S + (S_>1 + S_>2).

Так Гиппократ применяет метод танграма. Все сводится, следовательно, к доказательству того, что S = S_>1 + S_>2. Из теоремы Пифагора мы знаем, что

АВ^>² = АС^>² + СВ^>². (*)

РИС. 1

Теперь достаточно объединить площади поверхностей S с указанными выше квадратами. Как мы уже сказали, Гиппократ предполагал, что круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров, то есть выполняется соотношение