Евклид. Геометрия (Carrera) - страница 65

n = (k² - 1)/2, k нечетное.

Так можно получить тройки n = (k² - 1)/2, k, n +1 = (k² + 1)/2,

где k — нечетное число, образующее следующие таблицы.

Последовательность квадратных чисел 1, 4, 9,16 (n - 1)^>², n^>². Чтобы перейти от c_>n = n^>² к c_{>n + 1} = (n + 1)^>², нужно добавить гномон, равный 2n +1. То есть между ними всегда будет нечетное число.

Таким образом можно получить бесконечное множество троек, но не все: например, здесь не хватает тройки 8, 15, 17, в которой разница между катетом и гипотенузой равна двум единицам.

Платону приписывают обобщение этого метода Пифагора. Необходимо перейти от (n - 1)^>² к (n + 1)^>². Для этого надо сложить два гномона: 2n - 1, позволяющий перейти от (n - 1)^>² к n^>², и 2n + 1, позволяющий перейти от n^>² к (n + 1)^>². Всего надо добавить 4n. То есть (n - 1)^>² + 4n = (n + 1)^>². Значит, n должно быть квадратным числом: n = k^>². Так мы получаем тройки k^>² - 1, 2k и k^>² + 1. При k = 4 мы получим уже упомянутую тройку 8,15,17. Запишем это в виде таблицы.

Приведенные таблицы различаются: в первой представлены простые тройки, то есть такие, у которых нет общего делителя; во второй цифры в столбцах с нечетным к можно разделить на 2, и мы получим некоторые значения первой таблицы. Можно сказать, что первая таблица включена во вторую. Но существует ли алгоритм, позволяющий получить все возможные пифагоровы тройки? Ответ на этот вопрос положительный, и дает его сам Евклид в лемме 1 книги X:

Существуют два квадратных числа, которые вместе образуют еще один квадрат.

Не вдаваясь в подробности, скажем, что Евклид использовал алгоритм α = λ^>²-μ^>², b = 2λμ, c = λ^>² + μ^>², где λ и μ — взаимно простые числа, имеющие разную четность. Это условие необходимо соблюдать для того, чтобы тройки не повторялись и все составляющие их числа были простыми, без общих делителей. Действительно, нас интересуют только простые тройки, так как очевидно, что при любом натуральном числе k 3k, 4k, 5k тоже будут натуральными, ведь 3, 4 и 5 — натуральные. Все вышесказанное справедливо для любой пифагоровой тройки a, b, c.

Самым убедительным доказательством исторического значения труда Евклида являются многочисленные его копии и переиздания. Ни одно другое научное произведение античности не может похвастаться таким количеством переводов, изданий и комментариев.