В Париже Томсон узнал, что и там найти работу Грина непросто, поэтому подарил один из своих экземпляров Лиувиллю. При этом он восхитился Грином и Фурье и поделился с другом своими идеями о тождестве между тепловым потоком и электричеством. С этой работой Грина связана забавная история. Однажды вечером, вскоре после приезда Томсона в столицу Франции, в его квартире появился Штурм и воскликнул: «У вас есть работа Грина - мне об этом сказал Лиувилль!» Уильям дал Штурму книгу, и французский математик провел в его доме несколько часов, изучая работу. При этом Штурм выяснил, что Грин за несколько лет до него сформулировал некоторые наиболее важные теоремы, доказанные французом.
Во второй части доклада для Лиувилля Томсон, чтобы получить соответствующие итоговые формулы, использовал известные ему методы Фурье. В третьей он применил оригинальный способ решения — так называемый метод изображений, который используется для решения самых разных задач, не только в области электромагнетизма. Этот метод вертелся у него в голове еще до выезда из Кембриджа, и в итоге он сформулировал его в первые недели пребывания в Париже.
Также Томсон установил аналогию между проблемой, которую он изучал, и другой, из сферы оптики. Предположим, что источник света, например лампочка, находится перед плоским зеркалом бесконечных размеров с отличной отражающей способностью. Лампочка отражается в зеркале, при этом создается ощущение, что внутри зеркала существует другая лампочка, аналогичная исходной, и она расположена на том же расстоянии от его поверхности, что и настоящая лампочка - от поверхности зеркала (см. рисунок 1 на следующей странице). Свет, достигающий любой точки перед зеркалом, как точка Р на рисунке, — это свет, идущий от настоящей лампочки, плюс свет от ее отражения. Это количество света будет совпадать с количеством, которое приходило бы в точку Р, если бы мы убрали зеркало и поставили бы в то место, где находилось отражение, другую лампочку, как схематично показано на рисунке 2.
Вспомним, что Томсон анализировал проблему заряда, расположенного вблизи проводящей плоскости, как показано на рисунке 3. Ученый заметил, что распределение электричества справа от проводящей плоскости (показано на рисунке с помощью силовых линий) совпадает с распределением, которое произошло бы от двух равных зарядов, но с противоположным знаком, если плоскость убрать. Таким образом, проводящая плоскость ведет себя как зеркало. Единственная разница в том, что заряд, который надо поместить в положение зеркального отражения, должен иметь противоположный знак. Как видно на рисунке 4, силовые линии справа от того места, где была расположена проводящая плоскость, совпадают с силовыми линиями на рисунке 3.