Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 63
А вот пример уже более сложной задачи: «Построить треугольник по высоте, биссектрисе и медиане, выходящим из одной его вершины».
Как нетрудно убедиться, построение возможно лишь в том случае, если длины высоты h, биссектрисы b и медианы m либо одинаковы, либо удовлетворяют соотношению h < b < m; в противном случае искомого треугольника не существует.
Если провести на плоскости произвольную прямую l и восставить из некоторой ее точки H перпендикуляр к этой прямой, а затем отложить на нем отрезок AH длины h, то можно считать, что точка A - одна из вершин искомого треугольника, а прямая l будет содержать его основание. Отметив точки K и M пересечения прямой l с окружностями радиусов b и m, центры которых находятся в точке A (рис. 1), и проведя их радиусы AK и AM, находят биссектрису и медиану нашего треугольника. (Заметим, что биссектриса всегда лежит между медианой и высотой.)
Рис. 1
Дальнейшее построение основано на довольно простом, но редко отмечаемом факте: биссектриса угла треугольника и серединный перпендикуляр к стороне, противолежащей этому углу, пересекаются в точке D, лежащей на окружности, описанной вокруг рассматриваемого треугольника, поскольку оба они делят пополам дугу этой окружности, стягиваемую указанной стороной (хордой) и не содержащую вершины A (рис. 2).
Рис. 2
Окончательное построение теперь уже просто. Через точку M проводят перпендикуляр к прямой l и продолжают биссектрису AK до пересечения с ним в точке D (рис. 3). Итак, точки A и D лежат на окружности, описанной вокруг искомого треугольника, а ее центр O, очевидно, находится на серединном перпендикуляре к хорде BC и на серединном перпендикуляре к отрезку AD, являющемуся также одной из ее хорд. Построив точку O как точку пересечения указанных срединных перпендикуляров, можно провести окружность, описанную вокруг искомого треугольника, поскольку известны центр O и радиус OA. Точки пересечения этой окружности с прямой l являются недостающими вершинами B и C искомого треугольника. Остается лишь соединить концы отрезка BC с точкой A.
Рис. 3
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Одна из труднейших задач на построение, которую уже тогда умели выполнять, - построение окружности, касающейся трех данных окружностей. Эта задача называется задачей Аполлония – по имени греческого геометра Аполлония из Перги (ок. 200 г. до н.э.).
Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба, а именно построение квадрата, равновеликого данному кругу, деление произвольного угла на три равные части и построение стороны куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба.