Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры (Беллос) - страница 155
Маршрут восхождения на вершину горы и спуска к ее подножию
Эксперименты — движущая сила науки. Доказательства — движущая сила математики. Существует множество способов проведения экспериментов, так же как и множество методов доказательств математических утверждений. В этой главе мы рассмотрим некоторые из них. Кроме того, проанализируем, как изменилось отношение к доказательствам, и пообщаемся с анонимным членом тайного общества, исповедующего математическую строгость. Но сначала давайте перекусим.
Теорема о промежуточном значении может показаться очевидной, но у нее есть ряд интересных следствий. Одно из них — теорема о блинах, которую я предпочитаю описывать в менее сладких выражениях. Если вы рассыплете на столе соль (или подадите блины), мы можем доказать наличие прямой, которая делит соль (или блинчик) на две части равной площади, причем прямая может быть проведена под каким угодно углом[157]. Метод, с помощью которого это делается, представлен на рисунке ниже. Сначала нарисуйте за пределами пятна соли прямую под любым углом и назовите ее Х, а затем перемещайте ее в направлении соли, параллельно к исходному положению. Прямая пересечет пятно соли в точке А, когда она еще не покрывает площадь пятна, и оставит соль позади в точке В, когда все пятно пройдено. Пересеченная площадь пятна соли меняется непрерывно по мере того, как прямая проходит это пятно, перемещаясь из точки А в точку В. Согласно теореме промежуточного значения, эта прямая обязательно попадет в позицию, в которой пройденная площадь составляет ровно половину общей площади. Наше доказательство не указывает, где именно проходит линия раздела, а только говорит о том, что она однозначно существует.
Теорема о соли
А теперь давайте рассыплем на столе соль и перец. Здесь мы тоже можем доказать наличие прямой, разделяющей их на две части равной площади. Начнем с определения прямой Х, которая делит пополам пятно соли и не касается перца, как показано на рисунке ниже. Затем повернем прямую по часовой стрелке, не забывая следить за тем, чтобы она постоянно разбивала пятно соли на две равные части. Мы знаем, что это можно сделать, поскольку, как было показано выше, деление пятна соли пополам происходит под любым углом. Наша прямая касается пятна перца в точке А и выходит за его пределы в точке В. Покрытая площадь пятна перца увеличивается непрерывно от ноля до максимума, а значит, прямая обязательно пройдет ту точку, в которой она тоже делит пятно перца на две равные части. На рисунке пятна соли и перца расположены отдельно, но, даже если бы они пересекались, всегда найдется прямая, которая разделит их на две части равной площади.