Для начинающих геометров трактат «Начала» был своего рода кулинарной книгой. В нем указан список ингредиентов: определения 26 терминов и 10 предположений, которые разрешается считать истинными, — например, о том, что между двумя точками можно провести прямую линию. Затем Евклид рассказывает о блюдах, которые намерен приготовить (теоремы), и приводит пошаговые инструкции относительно того, как это сделать (доказательства). Первая теорема касается построения «равностороннего треугольника на заданной конечной прямой», вторая — «как от данной точки провести прямую, равную данной прямой». В каждом доказательстве Евклид использует только перечисленные в начале книги предположения, и каждый очередной шаг логически вытекает из предыдущего. Метод, сводящийся к формулировке исходных предположений, после которой следует постепенное построение знаний посредством теорем и доказательств, стал стандартной схемой для всех последующих математических трудов.
В одной из самых известных теорем, изложенных в трактате «Начала», используется доказательство от противного.
Теорема.Существует бесконечно много простых чисел.
Доказательство. Во-первых, обратите внимание на следующее. Доказательство нельзя читать так же бегло, как прозу. Вполне нормально, если понадобится его перечитать несколько раз, прежде чем оно станет понятным. Во-вторых, давайте разберемся, что именно пытается сделать Евклид. Простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13 …) — это числа, которые больше единицы и делятся только на себя и 1. Евклид покажет нам, что, если эта теорема ошибочна, мы получим противоречие. Точнее говоря, он докажет, что при существовании конечного количества простых чисел можно создать еще одно простое число, что противоречит утверждению о том, что количество таких чисел конечно. Эта теорема не может быть ошибочной, значит, она должна быть верной.
Шаг 1. Пусть a, b, c… k — фиксированное множество простых чисел.
Шаг 2. Умножим все числа этого множества, чтобы получить число a × b × c ×… × k. Назовем это число М.
Шаг 3. Увеличим его на единицу, чтобы получить М + 1.
Шаг 4. Является ли М + 1 простым числом?
(1) Если М + 1 — простое число, то мы добились своей цели найти простое число, не входящее в исходное множество.
(2) Если М + 1 — не простое число, то должно существовать простое число p, на которое оно делится. В таком случае p — это либо одно из простых чисел исходного множества, либо нет. Если нет, у нас есть новое простое число. Если да, нам известно, что М делится на p, поскольку М делится на все числа исходного множества. Но теперь у нас возникла ситуация, когда на