людьми. (Описание ее решения можно найти в Приложении 7.) После Штейнгауза математические методы разрезания пирога легли в основу целой области знаний, имеющей практическое применение в экономике и политике. Существует много разных вариантов решения этой задачи, в зависимости от того, сколько людей принимает участие в дележе пирога и как они оценивают его разные фрагменты. Один оригинальный способ, найденный в 1960-х годах, подразумевает использование движущегося ножа. Нож размещается рядом с пирогом, а затем медленно передвигается над ним. Когда кто-то выкрикнет «Стоп!», нож разрезает пирог в этом положении, а отрезанный кусок получает тот, кто первым крикнул «Стоп!». Затем нож продолжает движение, отрезая куски оставшимся претендентам.
Гуго Штейнгауза помнят за две самые распространенные пищевые метафоры в математике: теорему о бутерброде с ветчиной и справедливое разрезание пирога. Он постоянно думал о еде. К сожалению, именно еды ему не хватало на протяжении всей жизни.
Один из самых распространенных методов доказательства — доказательство от противного, когда истинность утверждения подкрепляется доводами, что в случае, если оно ложное, это приводит к противоречию. Например:
Теорема.Все числа интересны[159].
Доказательство. Предположим, это утверждение ошибочно, а значит, есть очень скучные числа. Если бы это действительно было так, существовало бы самое малое скучное число. Однако сам факт наличия такого числа делает его интересным. Другими словами, термин «самое малое скучное число» противоречит сам себе. В этом и состоит несоответствие. Это утверждение не может быть ложным, стало быть, оно должно быть истинным.
Древнегреческий мыслитель Аристотель одним из первых изучил сущность доказательства. Он разработал систему логических рассуждений, призванную определить, приводят ли истинные предпосылки к истинным выводам. Аристотель занимался философией, но все же идея о том, что истина переходит от предпосылок к выводам посредством логической дедукции, оказала значительное влияние на математику. В действительности, начиная со времен Древней Греции, математика изучает именно то, как истинные предпосылки приводят к истинным выводам через доказательства.
В III столетии до нашей эры Евклид написал «Начала», основополагающий трактат по геометрии, отличающийся характерным литературным стилем и построенный в соответствии с принципиально новой концептуальной схемой. Евклид начал с небольшого набора предполагаемых истин, или аксиом, и вывел из них все остальные истины, или теоремы. Его способ систематизации знаний обозначается термином «аксиоматический метод».