делится и число М, и число М + 1, что невозможно, поскольку эти два числа разделяет только одно число — 1, которое не является простым.
Отсюда следует вывод: либо М + 1 — это новое простое число, либо М + 1 делится на новое простое число. В любом случае задача Евклида выполнена. Он доказал, что конечное множество не покрывает всю совокупность простых чисел.
В доказательстве Евклида применен принцип, который обозначается термином reductio ad absurdum — «приведение к абсурду», когда абсурдный вывод демонстрирует ошибочность предпосылки. На шаге 4 (2) абсурдный вывод состоит в том, что на p должно делиться как число М, так и число М + 1, а ошибочная предпосылка в том, что число p принадлежит конечному множеству простых чисел. В книге A Mathematician’s Apology[160] преподаватель Оксфордского университета Годфри Гарольд Харди писал, что доказательство Евклида «остается таким же актуальным и значимым, как и тогда, когда оно было открыто — две тысячи лет не оставили на нем никаких следов». Это короткое и точное доказательство, не требующее никаких дополнительных концепций, кроме сложения, умножения и деления. «Приведение к абсурду, которое так любил Евклид, — один из лучших инструментов математика, — добавил Харди. — Это гораздо более эффективный прием, чем любой шахматный гамбит. Шахматист может пожертвовать пешкой или даже более значимой фигурой, а математик ставит на кон игру».
Приведение к абсурду — это также один из любимых приемов комедиантов. Ирония используется для того, чтобы добиваться все более и более абсурдных выводов, тем самым все сильнее подчеркивая нелепость исходного предположения, — этот прием известен как сатира.
На самом деле я считаю, что сформулированное Евклидом доказательство бесконечности множества простых чисел комично само по себе. Для того чтобы найти новое простое число, Евклид должен сначала создать число М, которое не только до нелепости большое, но и представляет собой точную противоположность того, что он ищет, поскольку число М делится на каждое известное простое число. Затем, прибавив наименьшее число 1, Евклид переворачивает ситуацию с ног на голову. Мельчайший дополнительный элемент расшатывает почву под ногами огромного, мегаделимого монстра М и составляющих его простых чисел, беспощадно раскрывая их ограниченность. Подобно саркастической фразе, прозвучавшей в фильме Wayne’s World («Мир Уэйна»), Евклид говорит: «Эта группа простых чисел включает в себя все числа… нет!»
В математике много шутников.
Как только мы, люди, обретаем способность держать ручку в руках, мы начинаем машинально рисовать что-то на бумаге. Самый распространенный способ — в случайном порядке начертить на листе бумаги продольные и поперечные линии и заштриховывать образовавшиеся сегменты. Этот способ особенно хорош тем, что позволяет разместить рисунок так, чтобы заштрихованные сегменты имели общие стороны только с незаштрихованными, и наоборот. Подобный тип рисунка называется двухцветным, поскольку содержит всего два цвета. Чтобы доказать, почему мы можем выполнить такой рисунок в двух цветах, необходимо ввести еще один распространенный математический инструмент —