Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры (Беллос) - страница 194

Доказательство. Примем за истинное следующее утверждение: уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (p, q), имеет вид y – q = (x – p)m, где m — градиент.

Прямая на графике проходит через точки с координатами (−a, a^>2) и (b, b^>2).

Градиент этой прямой, который представляет собой отношение расстояния по вертикали к расстоянию по горизонтали, рассчитывается по формуле

Следовательно, уравнение прямой выглядит так:

y – a^>2 = (x + a) (b – a)

Его можно преобразовать следующим образом:

y – a^>2 = xb – xa + ab – a^>2

Члены –a^>2 можно сократить, после чего останется такое уравнение:

y = xb – xa + ab

Если прямая пересекает вертикальную ось, тогда x = 0, а значит,

y = ab

Другими словами, прямая пересекает ось в точке ab, что равно a × b.

Если сумма S наращивается со скоростью r, то после t периодов начисления сложных процентов значение этой суммы равно

S (1 + r)^>t

Сумма удвоится, когда (1 + r)^>t = 2. Чтобы решить это уравнение, необходимо взять натуральный логарифм обеих его частей. Натуральный логарифм — это логарифм с основанием е, который обозначается как ln. Таким образом

ln (1 + r)^>t = ln 2

Что сводится к

t ln (1 + r) = ln 2

Следовательно,

Когда r имеет небольшое значение, то ln (1 + r) ≈ r, стало быть, это уравнение можно записать так:

Что эквивалентно

Если r — скорость, выраженная в дробном виде, то обозначим через R скорость в процентном выражении. В таком случае необходимо умножить числитель и знаменатель в дроби t на 100

Следовательно, количество периодов начисления сложных процентов t, необходимых для удвоения суммы, составляет 69 разделить на темпы роста в процентах R.

Поскольку число 72 легче делится на другие числа, чем 69, в правиле 72 чаще всего используется именно это число, хотя значение 69 было бы точнее[187].

Площадь самого большого заштрихованного квадрата составляет

Однако каждому заштрихованному квадрату соответствует ровно по два незаштрихованных квадрата одинакового размера. Таким образом, площадь заштрихованных квадратов должна также составлять

КАК СПРАВЕДЛИВО РАЗДЕЛИТЬ ПИРОГ НА ТРОИХ

Назовем этих троих Гуго, Стефан и Станислав — по именам математиков, внесших самый большой вклад в создание «Шотландской книги».