Центробежные насосы нефтепереработки (Ефанов) - страница 20
Для вертикальной нагрузки кривая прогиба:
(w – интенсивность распределения поперечной нагрузки, за положительное направление принимается верх)
Нагрузку, распределенную вдоль центральной оси заменяют нагрузкой, проходящей через центр сдвига, и распределенный крутящий момент интенсивностью wc.
Крутящий момент:
R – крутильная жесткость, R>1 – жесткость стесненного кручения.
Дифференцируя получается:
Уравнение показывает связь между изгибом и кручением при приложении статической нагрузки вдоль оси.
Интенсивность поперечных сил инерции
Интенсивность моментов инерции
I>п – центральный полярный момент инерции сечения вала.
Формулы для совместных изгибных и крутильных колебаний:
Вал колеблется в одной из собственных форм колебаний.
р – круговая частота колебаний,
Х, Х>1 – нормальные функции, решения которых отыскиваются для удовлетворения граничным условиям.
После подстановки:
Тимошенко приводит пример стержня со свободно опертыми концами:
Функции Х и Х>1 в этом случае:
C>i и D>i – произвольные постоянные.
Вводятся обозначения:
После подстановки получается:
Решения для C>i и D>i находятся в случае, если определитель уравнений равен нулю.
В этом случае частотное уравнение:
Из этой формулы:
Для случая совпадения центра тяжести с центром сдвига, то есть с = 0 и λ =0:
Из формулы получаются две системы значений частот:
Полученные частоты являются несвязанных друг с другом и независимых друг от друга частот изгибных (поперечных) и крутильных колебаний. Аналогичные результаты получаются для стержней с другими условиями закрепления концов.
Связанные изгибно-крутильные колебания можно найти методом Релея-Ритца [19,с.430].
Итак, по представленным данным Тимошенко возможен раздельный расчет на поперечные и крутильные колебания, либо расчет на изгибно-крутильные колебания методом Релея-Ритца.
Результат этого вывода может быть использован конструкторами для упрощения проблем проектирования валов насосов. То есть выполнять расчет поперечных колебаний и расчет крутильных колебаний по отдельности. Для определенных технических целей необходимо выполнение только одного из видов расчетов. Изложенная теория даст более глубокое понимание физики колебаний вала.
Расчет изгибно-крутильных колебаний вала с мешалками по данным [20].
Рассмотрим шарнирно опертый стержень [20,с.200]. Система уравнений распадется на две независимые системы. Уравнение, описывающее только изгибные колебания в плоскости симметрии:
Уравнения, описывающие изгибно-крутильные колебания:
Граничные условия при x = 0 и x = l:
Граничные условия удовлетворяются при: