Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 11
Числа, которые не являются решением полиномиального уравнения — т. е. не алгебраические — называются трансцендентными числами. Так как существует бесконечное число полиномиальных уравнений, можно подумать, что почти все числа являются алгебраическими. Но это не так трансцендентных чисел намного больше, чем алгебраических.
Доказать, что число трансцендентное, не так просто, так как существует бесконечное число уравнений, все их невозможно перебрать для доказательства. Невозможно предъявить решения каждого уравнения! Два самых известных трансцендентных числа — это е и π. Трансцендентность первого была доказана французским математиком Шарлем Эрмитом в 1873 г. И хотя это было известно много веков назад, лишь в 1882 г. немецким математиком Фердинандом фон Линдеманом было представлено доказательство трансцендентности числа тт.
Это удивительное свойство открывает нам новые возможности. С помощью этого простого упражнения мы видим, что число Ф, несмотря на свое скромное определение, ведет нас к замечательным открытиям. Оно появляется в самых различных областях математики, а также имеет далеко идущие свойства.
Проиллюстрируем это, найдя значение следующей последовательности квадратных корней:
Добавляя по одному корню из единицы, мы получим последовательность приближенных значений числа А.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Для математика термин «последовательность» означает неограниченный набор упорядоченных чисел, построенный по определенному правилу. Члены последовательности обычно обозначаются буквой с нижним индексом, который указывает на занимаемое в последовательности место: a>1, а>2, a>3…, а>n… = {а>n}.
Два примера последовательностей: четные числа {2, 4, 6, 8, 10,…} = {2n}, и квадраты чисел {1, 4, 9, 16, 25…} = {n>2}. Другим примером являются геометрические прогрессии, в которых каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянное число, называемое знаменателем профессии. Иными словами, отношение двух последовательных членов является числом постоянным. Многие последовательности имеют выражение, которое позволяет нам найти значение каждого члена в зависимости от позиции, которую он занимает. Зная этот общий член, мы можем определить последовательность и найти все ее члены. В случае геометрической прогрессии, где первый член а>1 и знаменатель г, общий член выражается как а>n = а>1∙r>n->1. Последовательность можно определить также с помощью так называемого рекуррентного соотношения, которое позволяет получить значение члена последовательности, зная предыдущие члены. Конечно, удобнее работать с общим членом, но записать для каждой последовательности формулу общего члена не всегда возможно или не так просто.