Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 10

Теперь давайте возведем наше число в квадрат (Ф^>2). С учетом приближенного значения получаем, что Ф^>2 = Ф + 1. Является ли это просто случайностью? Мы сейчас покажем, что это вовсе не совпадение.

Для начала вспомним, что Ф является решением уравнения:

х^>2 — х — 1 = 0. (1)

Мы только что проверили это с приближенным значением, показав, что

Ф^>2 — Ф — 1 = () => Ф^>2 = Ф + 1. (2)

Начиная с уравнения (2), несколько раз умножим обе части на Ф и получим:

Ф^>3 = Ф^>2 + Ф

Ф^>4 = Ф^>3 + Ф^>2

Ф^>5 = Ф^>4 + Ф^>3

….

Мы видим, что любая степень Ф равна сумме двух предыдущих степеней. В результате, имея значения Ф и Ф^>2, нам не нужно выполнять операции умножения для получения других степеней Ф, достаточно сложить две последовательных степени, чтобы получить следующую.

Аналогично, используя выражения (2) и (3), мы можем найти другие соотношения между степенями Ф, которые содержат только само значение Ф и натуральные числа.

Ф^>3 = Ф^>2 + Ф = Ф + 1 + Ф = 2Ф + 1

Ф^>4 = Ф^>3 + Ф^>2 =(2Ф + 1) + (Ф + 1) = 3Ф + 2

Ф^>5 = Ф^>4 + Ф^>3 = (3Ф + 2) + (2Ф +1) = 5Ф + 3

Ф^>6 = Ф^>5 + Ф^>4 = 8Ф + 5

Ф^>7 = Ф^>6 + Ф^>5 = 13Ф + 8

Ф^>8= Ф^>7 + Ф^>6 = 21Ф +13

(4)

Мы видим, что для получения любой степени Ф достаточно умножить число Ф на сумму двух натуральных чисел из выражения для предыдущей степени Ф, а затем добавить коэффициент при Ф из предыдущего выражения. (Коэффициент — это множитель в математическом выражении.) Например, в выражении для Ф^>6 число 8, коэффициент при Ф, является суммой 5 и 3, которые содержатся в выражении для Ф^>5, а слагаемое 5 является коэффициентом при Ф для той же степени Ф^>5.

Запомним эти свойства, выражаемые формулами (3) и (4), они нам потребуются, когда мы будем использовать последовательность Фибоначчи для получения приближенного значения Ф. Но более подробно об этом будет рассказано позже. Левая часть выражения (3) также показывает, что мы можем построить геометрическую прогрессию из Ф, складывая его две последовательных степени.

Вычислим теперь значение 1/Ф, чтобы проверить, случаен ли был результат, который мы получили с приближенным значением Ф. Начнем с выражения (2), определяющего Ф:

Ф^>2 = Ф + 1

Ф^>2 — Ф = 1.

Разделим все члены этого уравнения на Ф:

(Ф^>2 — Ф)/Ф = 1/Ф

Ф — 1 = 1/Ф