Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 16
Этот факт выражается следующей формулой:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а>n = а>n+2 — 1.
Мы можем использовать этот факт для нахождения суммы любого количества последовательных членов, что для непосвященных выглядит как магия. Например, выберем любые два числа, скажем, 25 и 40, и подставим их в нашу формулу вместо n:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а>40 = а>42 — 1.
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + … а>25 = а>27 — 1.
Чтобы посчитать сумму всех членов между а>25 и а>40 (от а>26 до а>40 включительно), мы просто найдем разность между этими двумя выражениями:
a>26 + … + a>40 = a>42 — a>27.
Теперь в нашем распоряжении имеется следующий трюк: чтобы найти сумму всех членов последовательности между двумя данными членами (не включая первый, но включая второй член), достаточно найти разность соответствующих (n + 2)-х членов.
МАРИО МЕРЦ (1925–2003)
Итальянский художник Марио Мерц, один из самых выдающихся представителей направления «арте повера», неоднократно использовал последовательность Фибоначчи во многих своих работах 1970-х гг., применяя целый ряд различных материалов (неоновые огни, ветки, шкуры животных, газеты). Так как числа Фибоначчи стремятся к бесконечности, потому что каждый следующий член равен сумме двух предыдущих, Мерц использовал это свойство знаменитой последовательности в качестве символа прогресса искусства и общества. Каждый шаг цивилизации — это сумма прошлых событий, в результате чего прошлое является неотъемлемой и важной частью будущего. Аналогично, современное искусство представляет собой сумму предшествующих искусств, ничто не может быть создано из ничего.
Работу Марио Мерца, изображающую последовательность Фибоначчи в виде спирали, можно увидеть на станции метро города Неаполя.
Существует бесконечное число пифагоровых троек, однако их нелегко найти. Но, как вы уже догадались, последовательность Фибоначчи позволяет найти пифагоровы тройки. Мы расскажем об этом в данном параграфе, но сначала покажем, какая существует связь между Фибоначчи, Пифагором и золотым сечением.
Самым известным свидетельством математического гения человечества является теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины большей стороны (гипотенузы) равен сумме квадратов длин двух других сторон (называемых катетами).
а>2 = Ь>2 + с>2.
С геометрической точки зрения мы можем рассматривать все стороны прямоугольного треугольника как стороны трех построенных на них квадратов. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны (квадрат имеет равные стороны). Теорема Пифагора просто говорит, что общая площадь квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника (сумма площадей двух квадратов), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.