Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 22
В большинстве европейских стран используется метрическая система, поэтому многие европейцы, в том числе студенты, получающие образование с использованием метрической системы, с трудом определяют точный размер телевизора, который они собираются купить. Зная длину диагонали экрана в дюймах и соотношение его сторон, мы можем вычислить точные размеры телевизора в более понятных единицах длины, чтобы избежать неприятных сюрпризов, когда обнаружится, что телевизор не помещается там, где мы хотели его поставить. Телевизор формата 16:9 с экраном в 32 дюйма имеет диагональ 32∙2,54 = 81,28 см. Поэтому его реальными размерами являются ширина 9а и длина 16a. Теперь, как ни удивительно, одна из древнейших теорем математики поможет нам решить вполне современную проблему. Для нахождения размеров телевизора мы воспользуемся теоремой Пифагора:
(9а)>2 + (16а)>2 = 81,28>2
81а>2 + 256а>2 = 337а>2 = 6 606,44
а>2 = 6 606,44/337 =~ 19,6
а = √19.6 =~ 4,43 см.
Таким образом, размеры экрана 9∙4,43 = 40 см и 16∙4,43 = 71 см, что составляет 40х71 см.
Аналогичные расчеты покажут нам, что телевизор с экраном в 32 дюйма старого формата 4:3 имеет размеры 49х65 см. Отсюда следует вывод, выходящий за рамки математики: не так-то легко заменить старый телевизор новой моделью! Хотя и старый, и новый телевизоры имеют диагональ экрана одинаковой длины, скорее всего, новый телевизор не поместится в нише, где стоял старый.
Распознавание и построение «золотого» прямоугольника
Как мы уже говорили, «золотой» прямоугольник имеет соотношение сторон, равное Ф, то есть его форматное отношение равно Ф. Далее мы расскажем, как можно легко строить и распознавать «золотые» прямоугольники.
Мы начнем с некоторых свойств «золотых» прямоугольников, которые помогут нам в дальнейшем. Как мы видели, чтобы разделить отрезок А В на две части в отношении Ф, мы должны найти на отрезке точку X, удовлетворяющую условию:
Обозначим за М длину отрезка АХ, а длину отрезка ХВ — m. Так как длина отрезка АВ равна М + m, эти значения удовлетворяют следующему условию:
(М + m)/М = М/m = Ф. (4)
Допустим, у нас есть «золотой» прямоугольник, как на следующем рисунке слева. Если мы достроим на его большей стороне равносторонний прямоугольник (т. е. квадрат), мы получим новый прямоугольник со сторонами М и (m + М), как на рисунке справа. Согласно соотношению (М + m)/М = М/m, если исходный прямоугольник являлся «золотым» (то есть с условием М/m = Ф), то только что построенный большой прямоугольник также будет «золотым», потому что (М + m)/М = М/m. Этот метод позволяет строить «золотые» прямоугольники большего размера.