Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 23
Тот же самый результат мы получим, если от «золотого» прямоугольника отрежем квадрат со стороной, равной меньшей стороне исходного прямоугольника, как на рисунке ниже. Тогда у нас получится прямоугольник со сторонами m и М — m. Он, очевидно, меньше, но также будет являться «золотым», если
m/(M — m) = Ф <-> (M — m)/m = 1/Ф.
Так как М/m = Ф (см. (4)), то отсюда следует, что (M — m)/m = (M/m) — 1 = Ф -1 = 1/Ф
Что и требовалось доказать.
ГНОМОН
Еще древние греки заметили, что некоторые объекты природы, меняясь по величине, всегда сохраняют свою форму. Это явление получило название гномонического роста. Изобретатель и инженер Герон Александрийский дал такое определение: «Гномон — это фигура, которая, будучи добавлена к другой фигуре, образует новую фигуру, подобную исходной». Гномон «золотого» прямоугольника представляет собой квадрат со стороной, равной длине «золотого» прямоугольника.
Как и в случае подобных прямоугольников, существует простой и быстрый способ узнать, является ли прямоугольник «золотым», без измерения его сторон. Возьмем два одинаковых прямоугольника и поместим их рядом друг с другом, один горизонтально, другой вертикально, как на следующем рисунке слева. Затем мы проведем линию через вершины А и В, как показано на рисунке справа. Если эта прямая проходит точно через вершину С, то мы имеем два «золотых» прямоугольника одинакового размера.
Как можно объяснить этот факт? По теореме Фалеса, если две параллельные прямые пересекают две стороны треугольника, то они отсекают пропорциональные отрезки. На втором рисунке мы видим, что АВ будет проходить через С, когда
AD/DB = АЕ/ЕС.
Однако если мы подставим значения для каждой из этих сторон, то получим: (М + m)/М = М/m.
И снова мы видим уравнение (4), определяющее Ф.
Если у нас имеется «золотой» циркуль (см. ниже), достаточно раздвинуть короткие ножки циркуля на расстояние, равное ширине прямоугольника, а затем проверить, совпадает ли расстояние между длинными ножками циркуля с длиной прямоугольника. Если это так, то прямоугольник является «золотым».
КАК СДЕЛАТЬ «ЗОЛОТОЙ» ЦИРКУЛЬ
«Золотой» циркуль — это простой инструмент, который легко сделать самому. Он нужен для построения отрезков, разделенных в «золотом» отношении, или для проверки такой пропорции.
Существуют различные способы сделать «золотой» циркуль. Вот самый простой из них. Возьмем две заостренные на концах полоски картона, пластика или фанеры, шириной 2 см и длиной 34 см. Проделаем в них отверстия на расстоянии 13 см от одного из концов.
Соединим обе полоски через эти отверстия так, чтобы они могли поворачиваться. Обычная кнопка вполне для этого подойдет. Раздвинув полоски, мы получим два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами 21 и 13 см соответственно. Так как это два последовательных числа из последовательности Фибоначчи, их отношение близко к