Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 24
Циркуль очень прост в использовании. Чтобы убедиться, что два отрезка находятся в «золотой» пропорции, нужно раздвинуть короткие ножки циркуля на расстояние, равное длине меньшего отрезка, и, не меняя положения циркуля, измерить длинными ножками длину большего отрезка. Если его длина равна расстоянию между длинными ножками циркуля, то два отрезка находятся в «золотой» пропорции.
Второй способ построения «золотого» циркуля более сложен, но более точен, так как позволяет работать и с крайним, и со средним отношением одновременно. Нам потребуются четыре узких полоски 1 см в ширину. Две из них длиной 34 см, одна — 21 см, а четвертая — 13 см. Проделаем два отверстия в каждой из них: одно на конце полоски, а второе — на расстоянии 13 см, как на рисунке справа. Затем мы соединим полоски как показано на рисунке.
У нас получились следующие отрезки:
AF = АН = 34 см
BG = 21 см
АВ = АС = ВЕ = СЕ = 13 см
EG = 8 см.
Все эти числа — члены последовательности Фибоначчи. При работе с циркулем отношение FG к GH всегда будет очень близко к Ф. Если мы поставим ножки циркуля F и Н на концы отрезка (до 68 см в длину), точка G покажет место, где отрезок делится на две части М, m, такие, что М/m = Ф.
Построение «золотого» прямоугольника
Теперь наша задача будет гораздо проще. Для построения «золотого» прямоугольника мы используем все свойства, о которых говорилось выше.
Начнем с квадрата АВCD, чья сторона будет шириной «золотого» прямоугольника, который мы будем строить. Отметим точку М — середину стороны АВ. Проведем дугу окружности с центром в точке М и радиусом МС (расстояние от М до одной из противоположных вершин). Эта дуга пересекается с продолжением отрезка АВ. Обозначим это пересечение точкой Е. Тогда длина отрезка АЕ является длиной искомого «золотого» прямоугольника. Нам осталось только провести перпендикуляр из точки E, который пересекает продолжение отрезка DC в точке F. Таким образом, мы построили «золотой» прямоугольник AEFD.
Давайте найдем длины сторон «золотого» прямоугольника, который мы построили, чтобы проверить «золотое» сечение. Предположим, что АВ = AD = 1, тогда АЕ = AM + ME = 1/2 + ME. Так как ME равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника MBС, по теореме Пифагора мы имеем:
ME>2 = МС>2 = MB>2 + ВС>2 = (1/2)>2 + 1>2 = 1/4 + 1 = 5/4.
Откуда
ME = √(5/4) = (√5)/2.
Следовательно:
AE = (1/2) + (√5)/2 = (1 + √5)/2 = Ф.
Это значит, что стороны прямоугольника AEFD равны 1 и Ф.То есть наш прямоугольник действительно является «золотым».