Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 38

Для выпуклого многогранника с числом граней F, числом ребер Е и числом вершин V всегда справедливо соотношение, известное как теорема Эйлера:

F + V = E + 2.

Многогранник называется правильным, если все его грани являются равными правильными многоугольниками и из каждой вершины выходит одинаковое количество ребер. Без второго условия мы можем получить многогранник с вершинами с тремя и четырьмя ребрами, как на следующем рисунке:

Кристаллы пирита часто имеют форму правильных двенадцатигранников. Опять же, как мы видим, правильные многогранники в изобилии встречаются в природе.

Как ни удивительно, но уже древние греки знали, что хотя существует бесконечное число правильных многоугольников — они могут иметь любое количество сторон — бывает только пять правильных многогранников, так называемых Платоновых тел. Гранями трех из них являются равносторонние треугольники: тетраэдр (четыре грани), октаэдр (восемь граней) и икосаэдр (20 граней). Еще один имеет шесть квадратных граней: куб (или гексаэдр), а пятый, додекаэдр, имеет 12 граней в виде правильных пятиугольников. Все они могут быть вписаны в сферу, касаясь ее всеми вершинами.

В Древней Греции каждое из этих тел связывали с одной из природных стихий. Куб представляет землю, тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — воду, а додекаэдр был символом космоса, всей Вселенной. Платон писал: «Боги использовали [додекаэдр], чтобы вплести созвездия в небо».

Большой интерес древних греков, особенно пифагорейцев, к многогранникам, без сомнения, объясняется изучением кристаллических минералов, широко распространенных в Средиземноморье, в том числе эффектных кристаллов пирита, часто имеющих форму додекаэдра.

Количества граней, ребер и вершин пяти правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Если мы опишем многогранник вокруг додекаэдра, используя центры его граней в качестве новых вершин, то мы получим икосаэдр.