Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 39
Современная форма упаковки, параллелепипед, также проста в производстве. Если разобрать одну из них, можно увидеть, как она устроена. Но главным преимуществом использования параллелепипедов является возможность их эффективно хранить: сложенные вместе, они не оставляют пустот.
* * *
Если мы проделаем то же самое с икосаэдром, то получим додекаэдр. Из-за такого свойства эти многогранники называют двойственными.
Не все многогранники имеют связь с Ф. Ближайшими к золотому сечению являются додекаэдр (как и следовало ожидать, потому что он образован пятиугольниками) и двойственный ему икосаэдр. Число Ф появляется в выражениях для объема и площади поверхности (суммы площадей граней) этих двух многогранников. С длиной ребра, равной 1, эти выражения имеют вид:
Площадь поверхности додекаэдра = 15Ф/√(3 — Ф) = 3∙√(25 + 10∙√5) =~ 20,65.
Объем додекаэдра 5Ф>2/(6 — 2Ф) = (1/4)∙(15 + 7∙√5) =~ 7,66.
Объем икосаэдра 5Ф>2/6 = (5/12)∙(3 + √5) =~ 2,18.
Если икосаэдр и додекаэдр вписаны один в другой как двойственные тела, соотношение между длинами их ребер задается формулой:
Ф>2/√5.
С другой стороны, 12 вершин икосаэдра можно разделить на три группы по четыре вершины, которые являются вершинами «золотых» прямоугольников, вписанных в многогранник, каждый из которых перпендикулярен двум другим.
Поэтому если мы возьмем три равных «золотых» прямоугольника и поместим их перпендикулярно друг к другу так, чтобы они пересекались в их центрах, 12 выступающих вершин образуют икосаэдр с ребром, равным меньшей стороне «золотого» прямоугольника. Если мы примем точку пересечения в «золотых» прямоугольниках за начало координат, то координаты 12 вершин икосаэдра будут выражены следующим образом:
(0,±1,±Ф), (±1,±Ф,0), (±Ф,0,±1).
Глава 4
Красота и поиск совершенства в искусстве
В 1876 г. немецкий экспериментальный психолог Густав Теодор Фехнер (1801–1887) провел исследование с людьми, которые не являлись экспертами в искусстве. Он попросил их из нескольких прямоугольников, включая квадрат, выбрать тот, который больше всего приятен глазу. Подавляющее большинство выбрали прямоугольники с «золотым» отношением сторон или другие близкие варианты.
Эксперимент Фехнера очень просто воспроизвести. Надо лишь показать группе людей различные виды прямоугольников. Спросив их, какой они предпочитают, вы получите удивительный результат. Однако специалисты говорят, что и вы тоже должны пройти этот эксперимент. Посмотрите на прямоугольники на этой странице: который из них вам больше всего нравится?
Фехнер также провел тщательные исследования пропорций человеческого тела и пришел к выводу, что «объект считается красивым в отношении формы, если имеет такое же соотношение между меньшей и большей частью, как между большей частью и целым». Это и есть описание золотого сечения. Наука, наконец, подтвердила идею о том, что божественная пропорция обладает внутренней гармонией и красотой.