В своем докладе Клейн попытался дать формальное определение геометрии, выйдя за рамки интуитивных представлений. Он систематизировал множество появившихся в то время разделов геометрии в так называемой эрлангенской программе, где привел их классификацию в зависимости от свойств, которые остаются неизменными для определенных групп преобразований[12]. Понятие группы было известно до Клейна, но именно он открыл фундаментальную взаимосвязь геометрии и групп преобразований. Так, евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, которые не изменяются при движениях без деформации. К подобным движениям, которые называются изометрическими преобразованиями (в переводе с греческого «изометрия» означает «равного размера»), относится перенос, симметрия, вращение и их композиции. Инвариантами этих преобразований являются, к примеру, расстояние между точками, площадь поверхности, углы между прямыми и так далее.
Аналогично аффинная геометрия изучает свойства фигур, инвариантные относительно аффинных преобразований (к ним относятся изометрические преобразования, растяжения и сжатия). Проективная геометрия изучает свойства, инвариантные относительно группы проекций, топология занимается изучением инвариантов непрерывных преобразований.
Помимо прочего, Клейн доказал, что евклидову геометрию, аффинную геометрию и неевклидовы геометрии можно считать частными случаями проективной геометрии. Если не вдаваться в детали, то доказательство основано на рассмотрении преобразований проективного пространства, которые оставляют неизменным определенное коническое сечение, называемое абсолютным. В зависимости от типа конического сечения результатом будет тот или иной раздел геометрии.
Если оставить в стороне технические вопросы, то это утверждение приводит к очень важному результату: геометрия Евклида является согласованной (непротиворечивой) тогда и только тогда, когда непротиворечивыми являются неевклидовы геометрии. Так был положен конец спорам о том, имеют ли смысл неевклидовы геометрии. Тем не менее еще несколько лет вопрос оставался открытым, так как некоторые исследователи считали рассуждения Клейна ошибочными.
Эрлангенская программа открыла путь к изучению абстрактных геометрических пространств. Теперь математики могли не ограничиваться фигурами на плоскости или в трехмерном пространстве. Стало возможным изучать множество измерений и переменные, которые не обязательно являются пространственными. Например, можно говорить о пространстве переменных термодинамики, описывающих состояние газа, которое может иметь больше трех измерений: давление, объем, температуру и различные концентрации веществ, из которых состоит газ. Мы можем изучать геометрические свойства этих переменных, но уже с абстрактной точки зрения.