Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 35
Рассмотрим в качестве примера клубок ниток. Издалека он кажется точкой, иными словами, фигурой с нулем измерений. Если наблюдатель подойдет ближе, то увидит, что клубок напоминает сферу, то есть имеет три измерения. Если он еще приблизится, то увидит, что в клубок свернута одна нить; таким образом, клубок будет иметь всего одно измерение. Когда наблюдатель приблизится настолько, что сможет рассмотреть структуру нити, то клубок снова станет трехмерным, поскольку станут видны отдельные волокна, из которых состоит нить. Подобный процесс можно продолжать и далее. Таким образом, очевидно, что о числе измерений клубка ниток нельзя говорить объективно: все зависит от положения наблюдателя, то есть от масштаба наблюдений.
Продемонстрируем эффект Ричардсона, сравнив приближенное значение длины окружности с одной стороны и периметр острова Мальорка — с другой. Пусть окружность имеет диаметр 100 км — это величина одного порядка с диаметром острова. Длина окружности будет в 71 раз больше диаметра, то есть 314,15… км. Поместим результаты на логарифмическую шкалу, чтобы лучше оценить результаты для разных растворов циркуля, которые мы будем применять при измерениях. Отметим на горизонтальной оси логарифм величины, обратной раствору циркуля, что можно интерпретировать как точность измерений: при малом растворе циркуля s точность измерений 1/s будет выше. На вертикальной оси будем отмечать логарифмы от рассчитанных значений периметра.
Для раствора циркуля, эквивалентного 50 км, наилучшим приближением окружности будет шестиугольник со стороной в 50 км и периметром в 300 км. Если в качестве приближения окружности мы выберем 12-угольник со стороной 25,882 км, то приближенное значение ее длины составит 310,584 км, для 24-угольника со стороной 13,053 км — 313,272 км, для 48-угольника со стороной 6,54 км — 313,92 км, для 96-угольника со стороной 3,272 км — 314,112 км и для 192-угольника со стороной 1,636 км снова получим длину, равную 314,112 км. Мы видим, что по мере уменьшения раствора циркуля приближенное значение длины окружности все ближе и ближе к реальному.
Однако при измерении длины побережья Мальорки все иначе. Если в качестве приближения выберем многоугольник со стороной 28 км, получим периметр 362,2 км, для многоугольника со стороной 14 км периметр будет равен 416,7 км, при стороне, равной 7 км, периметр будет равен 467,7 км, при стороне 3,5 км периметр достигнет 524,8 км.
В обоих случаях точки графика с хорошей точностью аппроксимирует прямая. Очевидно, нельзя ожидать, что точки будут лежать точно на одной прямой — это невозможно в силу неизбежной погрешности измерений. В случае с окружностью прямая расположена практически горизонтально; для береговой линии Мальорки прямая имеет наклон (угловой коэффициент