Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 34

* * *

На основе графиков Ричардсон попытался выяснить причину столь заметных различий, которые могут достигать 20 %. Его объяснение столь же удивительно, сколь и очевидно: единица измерения, используемая одной страной, может быть намного меньше, чем единица измерения, применяемая в другой стране. В чем же заключались эксперименты Ричардсона? Допустим, мы фиксируем раствор циркуля, равный 10 см. Затем мы с помощью циркуля по карте измеряем протяженность береговой линии, непрерывно отсчитывая ее длину. Полученное значение является лишь приближенным, так как береговая линия на карте имеет выпуклости и вогнутости размерами меньше 10 см. Затем уменьшим раствор циркуля и установим его равным 1 см, после чего повторим измерения. Очевидно, что в этот раз результат измерений будет больше, так как ломаная линия, прочерченная циркулем, будет точнее соответствовать береговой линии. Здравый смысл подсказывает, что эти значения сходятся к некоторому конечному числу, которое и будет истинной длиной побережья или границы. Однако Ричардсон показал, что результат измерений будет бесконечно возрастать по мере уменьшения единицы измерения и увеличения масштаба карты. Этот удивительный факт известен под названием «эффект Ричардсона».

Приближенные вычисления длины береговой линии острова Мальорка, выполненные с различной точностью. Измерения слева производились отрезком большей длины, чем на иллюстрации справа. Нетрудно видеть, что точность измерения на рисунке справа выше. Удивительно, но в соответствии с эффектом Ричардсона с ростом точности пределом измерений будет не истинная длина береговой линии, а бесконечность.

В свое время научное сообщество проигнорировало исследования Ричардсона, однако сегодня они считаются крайне важными, так как дали толчок к изучению фракталов. Бенуа Мандельброт цитирует Ричардсона в известной статье 1967 г. под названием «Какова длина побережья Великобритании?». В этой статье Мандельброт объясняет, что понятие длины для объектов неправильной формы, например для побережья, не имеет смысла. Как следствие, математики определили число, которое являлось бы количественной оценкой площади подобных объектов неправильной формы. Это число — экстраполяция числа «привычных» измерений объектов классической геометрии (одно, два, три измерения и так далее). Следовательно, «неевклидовы» объекты неправильной формы подобного типа часто имеют дробное число измерений.

Геометрия Евклида, в которой число измерений может быть только целым, не отражает всей сути фигур неправильной формы. Эксперимент Ричардсона равносилен вычислению длины в разных масштабах. Если мы измерим длину побережья из космоса, то полученный результат будет меньше, чем если мы, подобно муравью, пройдем вдоль всего побережья, считая каждую песчинку.