Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 58

Попробуем использовать систему итерируемых функций, чтобы описать кривую дракона, о которой рассказано в предыдущей главе. Несмотря на внешнюю сложность этой кривой, для ее построения нужно всего два преобразования. Чтобы показать, что форма итоговой кривой не зависит от исходного множества, построим кривую дракона сначала на основе отрезка, а затем на основе некоторой фигуры.

В случае с отрезком будем для простоты считать его длину равной единице. Сначала уменьшим отрезок в 1/√2 раз и повернем его на 45° против часовой стрелки. Поместим левый конец отрезка в точку с координатами (0, 0). Затем снова уменьшим исходный отрезок в 1/√2 раз и повернем его на 135° снова против часовой стрелки, поместив правый конец полученного отрезка в точку с координатами (1,1).

Нетрудно заметить, что полученные отрезки соприкасаются концами в верхней точке. Это возможно благодаря тому, что мы подобрали коэффициент уменьшения так, что отрезки образуют половину квадрата, разрезанного по диагонали. Применив эти же преобразования к кривой, полученной на первой итерации, получим следующую итерацию кривой дракона и так далее. Заметьте, насколько быстро кривая, полученная на промежуточных итерациях, приближается по форме к итоговой кривой дракона.

Кривая дракона, построенная на основе отрезка.

_{>(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)}

Во втором случае выберем в качестве исходной фигуры изображение щенка далматинца, которых в итоге станет 101, а может быть, и больше. Построение кривой дракона в этом случае будет аналогично построению на основе отрезка.

Кривая дракона, построенная на основе изображения далматинца.

_{>(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)}

Мы увидели, как с помощью систем итерируемых функций можно получить некоторые классические фракталы, и показали, как при последовательном выполнении аффинных преобразований формируется некий аттрактор. Тем не менее по-настоящему интересно то, что для любого изображения можно описать систему итерируемых функций, аттрактором которой будет данное изображение. Другими словами, мы решим обратную задачу фрактальной геометрии.

В этом смысле одним из важнейших открытий является теорема коллажа, которую сформулировал Барнсли в 1985 г. Допустим, дано некоторое множество L и соответствующая система итерируемых функций. Чтобы узнать, в какой степени эта система функций аппроксимирует L, построим отображение L для каждой функции и объединим их в одно общее изображение. Отличие между исходным и полученным изображением подскажет, как можно приближенно описать множество