Большая Советская Энциклопедия (ОТ) (БСЭ) - страница 97

  Свойства бинарных О. Пусть R = <х , у >. Если для любого х верно xRx , то R называется рефлексивным (примеры: О. равенства чисел — каждое число равно самому себе, подобие треугольников и т.п.). Если для любого х xRy не имеет места (символически: ù xRy ), то R называется антирефлексивным, или иррефлексивным (например, О. перпендикулярности прямых — никакая прямая не перпендикулярна самой себе). Если для любых не равных между собой х и у одно из них находится в отношении R к другому (т. е. выполнено одно из трёх соотношений xRy , х = у или yRx ), то R называется связанным (например, О. <). Если для любых х и у из xRy следует yRx , то R называется симметричным (например, О. равенства = или О. неравенства ¹). Если для любых х и у из xRy и xR^>–1y следует х = у (т. е. R и R^>–1 выполняются одновременно лишь для равных между собой членов), то R называется антисимметричным (например, О. £ и ³ для любых объектов). Если для любых х и у из xRy следует ù xRy , то R называется асимметричным (таковы, например, О. < и >, поскольку никакой объект не больше и не меньше себя). Если для любых х , у и z из xRy и yRz следует xRz , то R называется транзитивным (таковы, например, О. = или <, но не ¹). Можно было бы определить и др. свойства бинарных О., но нетрудно показать, что уже через эти свойства посредством логических операций определяются все прочие.

  Типы отношений. Значительная часть приводимых ниже типов О. уже встречалась выше в примерах. Сочетание свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности приводит нас к важнейшему типу О. — это О. типа равенства (тождества , эквивалентности ). Нетрудно показать, что любое такое О. индуцирует (определяет) разбиение множества, на котором оно определено, на непересекающиеся классы — т. н. классы эквивалентности: элементы, связанные данным О., попадают в общий класс, не связанные — в различные. Т. о., элементы, попавшие в общий класс, в известном смысле неразличимы, что и определяет важность этого типа О.

  Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; Уемов А. И., Вещи, свойства и отношения, М., 1963; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971.

  Ю. Л. Гастев.

Ото... (от греч. ús, род. падеж ōtós — ухо), часть сложных слов, указывающая на их отношение к уху, болезням уха (например, оториноларинголог, отосклероз).