.
Научное мышление раскрывает суть вещей, закономерность их возникновения и развития через выявление их О. с др. вещами. Характеризуя элементы диалектики, В. И. Ленин указывал на необходимость исследования О.: «Вся совокупность многоразличных отношений этой вещи к другим», «отношения каждой вещи... не только многоразличны, но всеобщи, универсальны. Каждая вещь (явление, процесс...) связаны с каждой; бесконечный процесс раскрытия новых сторон, отношений...» (там же, с. 202—03). В связи с возрастанием роли системноструктурных методов исследования категория О. приобретает всё большее значение в современной науке.
А. Г. Спиркин.
О. в логике.
В содержательных формулировках естественных языков О. выражается обычно сказуемыми предложений, имеющих более одного подлежащего (или одно подлежащее с дополнениями); в зависимости от числа этих подлежащих (и дополнений) их называют членами, субъектами или элементами данного О.; различают двуместные (бинарные, двучленные) О. («a
меньше b
», «Ока короче Волги», «рельсы параллельны между собой» и т.п.), трёхместные (тернарные, трёхчленные; «точка A
лежит между В
и С
», «5 есть сумма 2 и 3»), четырёхместные («числа x>1
, у>1
, и y>2
пропорциональны»), вообще n
-местные (n
-арные, n
-членные) О. Эти содержательные представления реализуются в точных терминах теории множеств (алгебры) и математической логики; первое из этих уточнений отражает экстенсиональный (объёмный) аспект понятия О., второе — интенсиональный (смысловой, содержательный). В теоретико-множественных терминах бинарным (n
-арным) О. называется множество упорядоченных пар (соответственно упорядоченных n
-ок) членов некоторого множества (поля данного О.). Если упорядоченная пара (х
, у
) принадлежит некоторому О. R
, то говорят также, что х
находится в О. R
к у
[символически: R
(xy
) или xRy
]; множество первых элементов упорядоченных пар, входящих в О. R
, составляет его область определения (отправления), множество вторых элементов — область значений (прибытия); аналогичные понятия вводятся и для многоместных О. Отношение, состоящее из пар (у
, х
), полученных перестановкой членов данного О. R
пар (х
, у
), называется обратным к R
и обозначается через R >–1
; область значений одного из этих взаимно-обратных О. [термин оправдан тем, что всегда (R >–1
)>–1
= R
] служит областью определения другого, а область определения — областью значений. Поскольку О. являются частными случаями множеств, для них обычным образом вводятся теоретико-множественные операции, в частности объединение, пересечение и дополнение О. (см.