Математическая индукция представляет собой тот процесс, благодаря которому мы можем переходить от чего-то конкретного и единичного к бесконечности в буквальном смысле. Я попытаюсь показать вам простой пример. Рассмотрим сумму:
1 + 3 + 5 + 7+…
и так далее, без конца. Этот ряд представляет собой сумму нечетных чисел. Для обозначения номеров каждой промежуточной суммы этого ряда я буду использовать римские цифры – они отличаются от привычных и потребуются нам для поиска окончательной формулы.
Количество слагаемых: I II III IV… n n+1
Слагаемые: 1+ 3+ 5+ 7+…+ (n-1) + (2n+1) +…
Сумма слагаемых: 1 4 9 16… n>2 (n+1)>2
Обратите внимание, что первая сумма равна 1, сумма первого и второго членов-4, сумма первых трех слагаемых – 9, сумма первых четырех – 16. Заметили ли вы зависимость между этими суммами и теми числами, которые обозначают количество слагаемых? Во всех случаях суммы равны квадратам этих чисел – довольно неожиданный результат! Теперь вас осеняет мысль: быть может, такое правило выполняется на всем протяжении этого бесконечного ряда. Для того чтобы проверить все суммы, потребуется бесконечное время. Однако математик не скован таким требованием.
Смотрите, как он поступает. Сначала он допускает, что это правило выполняется для n слагаемых (при этом п означает любое целое положительное число), то есть сумма первых n членов ряда равна n>2 – такое предположение возникло в результате того, что ему уже известно. Затем он задает себе • вопрос: «Будет ли это выполняться и далее?» Будет ли это утверждение справедливо для суммы (п+1) первых слагаемых, если известно, что оно выполняется для суммы n слагаемых? Получим ли мы (n+1)>2 в результате очередного суммирования? Математик поступает просто: берет сумму п первых членов и говорит, что она равна n>2. В каком виде можно представить n-ый член этого ряда? Заметим, что ряд можно записать в форме:
2*(1)-1, 2*(2)-1, 2*(3)-1, 2*(4)-1,…
и тогда n-ое по счету слагаемое будет иметь вид 2n – 1. Определим (n+1)-ое слагаемое, заменив n на (n+1). Получим:
2(n+1)- 1 = 2n+ 1.
Это легко проверить, так как нам известно, что каждое слагаемое ровно на 2 больше предшествующего слагаемого. Сложим это слагаемое с полученной ранее суммой n>2 и посмотрим, будет ли новая сумма равна (n+1):
n>2+(2n+1) = n>2+2n+ 1
Те, кто помнит школьную математику, уже узнали эту формулу: записанное справа выражение равно
(n+1)>2.
Иными словами, если сумма первых n членов ряда равна n>2, то сумма первых (n+1) членов будет равна (n+1)>2.
Таким образом, если это правило выполняется для какого-либо члена ряда, то оно будет справедливо и для следующего члена. Правильность закономерности для нескольких первых сумм была показана практическим методом, то есть прямыми вычислениями, но теперь нам ясно, что она сохранится на всей бесконечной протяженности этой последовательности. Такой подход постоянно используется в математических доказательствах.