Сделаем в заключение три важных замечания.
1. Вывод о калибровочной инвариантности (соотношение 46)) базируется на допущении о неизменности фактора e при калибровочных преобразованиях. Ясно из определения этого фактора, что он играет роль электрического заряда. Таким образом, неизменность величины e отражает неизменность электрического заряда, т. е. его сохранение. Закон сохранения заряда никак не связан с видимым 4-мерным пространством. Он определяется калибровочной инвариантностью. Далее, в разд.9 этой главы мы продемонстрируем связь геометрии с калибровочной инвариантностью и, следовательно, законом сохранения заряда. Однако эта геометрия весьма отличается от геометрии Евклида или Минковского.
2. В соотношении (45) вектор A и функция f или ALPHA зависят от четырех координат (t,x,y,z). Этим калибровочное условие (45) или (51) существенно отличается от калибровочного соотношения (41), в котором величина b не зависит от координат.
3. Таким образом, можно установить эквивалентность следующих утверждений:
уравнения движения (поля) — калибровочно инвариантны,
заряд в замкнутой системе сохраняется,
силы в статическом случае дальнодействующие,
масса частицы переносчика взаимодействия m|||||=0.
GAMMA
Последнее свойство является важной особенностью калибровочной инвариантности, а также и всех остальных ее следствий. Дело в том, что частицы с нулевой массой обладают особым свойством: у таких частиц существует всего два направления поляризации в отличие от частиц с массой m ≠ 0, у которых имеются три три направления поляризации. Это особое свойство безмассовых частиц и есть первопричина калибровочной инвариантности.[11]
8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЙ
Рассмотрим пример: систему невзаимодействующих частиц, движущихся по классическим траекториям. Каждой частице в момент времени t соответствуют свои координаты и проекции импульса. Таким образом, каждой точке видимого пространства соответствует значение вектора импульса. Можно рассматривать движение системы частиц в этом пространстве, не придавая совокупности импульсов никакого геометрического смысла. Кроме того, можно полагать, что вся совокупность координат играет роль базы, а векторы импульсов — слоев. При отсутствии взаимодействия подобное расслоенное пространство тривиально, а использование в данном случае образа расслоенного пространства и его несколько непривычных для физиков понятий — ненужное усложнение. Разумнее рассматривать изолированно два пространства: конфигурационное (координаты) и импульсное.
Однако ситуация меняется, если пытаться интерпретировать внутренние квантовые числа элементарных частиц. Здесь мы остановимся на геометрической интерпретации спина, изотопического спина и цвета (об этих квантовых числах см. Дополнение).