v|| = H(t) r|| (59) AB AB
для любых пар точек A и B. Уравнение (59) можно переписать в форме
dr|| / dt = H(t) r|| (60) AB AB
Рассмотрим далее два случая.
1. Функция 1/H(t) разлагается в ряд Тейлора в окрестности t=0.
2. Функция 1/H(t)=const, т. е. не разлагается в ряд Тейлора.
Первый случай. Пусть 1/H(t)=a|+b|t+…(a|,b|
1 1 1 1 постоянные) Допуская, что b ≠ 0 и используя трансляционную инвариантность времени Вселенной, т. е. совершая замену a|+b|t — > b|t, получаем уравнение dr|| / dt = (br|| / t) 1 1 1 AB AB (b=1 / b=const), решением которого является функция
b r|| ~ t|. (61) AB
Поскольку точки A и B произвольны, то зависимость (61) отражает известную степенную зависимость масштабного фактора от времени в модели Фридмана. Далее можно, постулируя статистические свойства материи в Метагалактике, определить численное значение параметра b, а основываясь не свойствах симметрии пространства, вывести полное решение, полученное Фридманом на основании ОТО (напомним, что зависимость (61) получена для малых значений времени t|, отсчитываемого от
k начала расширения).
Теперь рассмотрим второй случай, когда H(t)=const. Он также соответствует двум различным физическим картинам.
1. H ≠ 0. Тогда решение уравнения (60) имеет вид
Ht r|| ~ e||. (62) AB
Расстояние между двумя точками очень быстро (экспоненциально) увеличивается с ростом времени. Можно показать, что в этом случае плотность материи остается неизменной: ρ = const (t).
Зависимость (62) была получена на заре космологии де Ситтером`, но была отвергнута научной общественностью именно из-за странной зависимости ρ(t). Было неясно, каким образом быстрое изменение объема системы не приводит к изменению плотности. Для всех известных тогда форм материи (вещество, излучение) оба основных вывода, следующих из модели де Ситтера, противоречили друг другу. Лишь сравнительно недавно выяснилось, что существует третья форма материи — физический вакуум, который удовлетворяет обоим выводам, следующим из стационарной (ρ=const) модели де Ситтера.[17]
2. Наконец, остается последний случай H=0. Этот случай соответствует равенству r|| = const(t). Все взаимные расстояния (также как и другие физические характеристики) не изменяются со временем. Метагалактика полностью статична, что соответствует космологической модели Эйнштейна.
ТАким образом, мы привели аргументы (которые при более детальном анализе можно сделать более строгими) в пользу того, что космологические постулаты о геометрии Метагалактики (Вселенной) в значительной степени определяют динамику ее эволюции.