Пусть, например, требуется составить календарь, ориентированный на тропический год (после того, как измерена продолжительность последнего — 365,24220 суток). Ясно, что каждый год такого календаря должен содержать либо 365, либо 366 суток (в последнем случае год называется високосным). При этом надо постараться чтобы, во-первых, среднее число суток в году было как можно ближе к 365,2422 и, во-вторых, чтобы правило чередования простых и високосных годов было как можно проще. Иными словами, надо определить цикл продолжительностью в N лет, из которых M будут високосными. При этом, во-первых, дробь >M/>N должна быть как можно ближе к 0,2422, а во-вторых число N должно быть как можно меньше.
Эти два требования противоречат друг другу, поскольку точность достигается лишь ценой увеличения числа N. Самым простым решением проблемы является дробь >1/>4, на которой и основывается юлианский календарь. Цикл состоит из четырех лет, каждый четвертый год (порядковый номер которого без остатка делится на 4) — високосный. Юлианский год составляет в среднем 365,25 суток, что на 0,0078 суток больше продолжительности тропического года. При этом погрешность в одни сутки накапливается за 128 лет (0,0078 × 128 = 1).
Григорианский календарь основывается на дроби >97/>400, т. е. в 400-летнем цикле 97 високосных годов. Високосными считаются годы, порядковый номер которых либо делится на 4 и не делится на 100, либо делится на 400. Григорианский год составляет в среднем 365,2425 суток, что на 0,0003 суток больше продолжительности тропического года. При этом погрешность в одни сутки накапливается за 3333 года (0,0003 × 3333 = 1).
Из сказанного видно, что преимущество григорианского календаря над юлианским спорно даже в качестве ориентированного лишь на тропический год — точность достигается ценой усложнения.
Рассмотрим теперь юлианский и григорианский календари с точки зрения соотнесенности с Луной.
Смене фаз Луны соответствует синодический, или лунный, месяц, составляющий 29,53059 суток. За это время сменяются все фазы Луны — новолуние, первая четверть, полнолуние, последняя четверть. В один год не укладывается без остатка целое число месяцев, поэтому для построения почти всех действовавших лунно-солнечных календарей применялся 19-летний цикл, носящий имя греческого астронома Метона (V в. до Р. Х.). В этом цикле выполняется соотношение
19 годов ~ 235 синодическим месяцам,
т. е. если начало некоторого года совпадает с появлением на небе новой Луны, то это совпадение будет иметь место и через 19 лет.