Задача математики и состоит в том, чтобы изыскать такие средства, выработать такие абстракции, отношения которых внутренним образом описывали бы закономерности количественной области, т.е. установить различия, внутренние для количества как «безразличной» по отношению к содержанию явлений определенности, как гомогенной, чисто количественной предметной области.
В ее задачу, таким образом, не входит чисто рациональное, априорное выведение количеств из внутренней логики «чистого разума» (такое выведение совершенно невозможно), но изыскание средств рационального, логического, понятийного выражения эмпирически данных количественных определений, т.е. выработка системы абстракций, отношение которых позволяет раскрыть внутренние закономерности количественной области. Через эти отношения чистых количеств область количественных понятий приобретает собственный центр, собственный смысл, собственную логику и относительно самодовлеющее значение.
Для того, чтобы рассмотреть абстрагированное свойство само по себе, необходимо выявить его структуру, т.е. расчленить на внутренние для него элементы, отношение которых определит содержание данного свойства. За пределами данного свойства, отношения его элементы не могут иметь самостоятельного значения; значение их определяется содержанием данного свойства, следовательно – их взаимным отношением.
Поэтому абстрагирование составляет лишь первый шаг научного познания. Дальнейшее движение состоит в том, чтобы дать определение абстрактного свойства, отобразить его как внутренне определенный, внутренне конкретный объект. Так, например, если мы имеем сферу как абстрактный геометрический образ шарообразного физического тела, то определить, что такое сфера, взятая сама по себе, мы можем лишь через отношение внутренних для этого абстрактного геометрического образа элементов; таковыми являются радиус сферы, геодезические линии ее поверхности, точки в отношении к геодезическим линиям, т.е. «объекты», внутренне присущие данному абстрактному свойству. Закономерное отношение этих «объектов» даст вполне точное, соответствующее существу дела определение свойства, безразличного к качественной определенности. Понятно отсюда, что элементами или «частями» такого математического объекта не могут быть части физического тела, так как последнее качественно. Поэтому-то арифметика и не обязана давать нам сведения о «населении Соединенных Штатов», а геометрия – о строении физического пространства.
Ту же функцию – служить средством выражения одних математических фактов через их отношение к другим – выполняют и так называемые «идеальные элементы». Этой задаче отвечало, например, введение Куммером в теорию чисел «идеальных чисел» для восстановления первоначально утрачиваемых при переходе от рациональных чисел к алгебраическим законов разложения на множители; введение в геометрию мнимых величин для установления некоторых общих теорем о точках пересечения алгебраических поверхностей и кривых; введение Понселе в его проективной геометрии бесконечно удаленной точки, в которой пересекаются параллельные прямые, в результате чего упрощаются соотношения инцидентности (принадлежности) между точками и прямыми (связь метрической и проективной геометрии) и т.п.