Исходя из этого, мы приходим к выводу, что реальный мир есть не то, о чем говорят наши органы чувств с их ограниченным восприятием внешнего мира, а скорее то, что говорят нам созданные человеком математические теории, охватывающие достаточно широкий круг явлений. В евклидовой геометрии понятия точки, линии, плоскости и тому подобное — идеализации, но идеализации реальных объектов, и поэтому реальные точки, линии и плоскости мы можем воспринимать как реальность. А что нам делать с гравитационным взаимодействием и электромагнитным излучением? Ведь мы наблюдаем не их самих, а лишь производимые ими эффекты. Но какова физическая реальность, лежащая за пределами математики? Мы не располагаем даже воображаемыми физическими картинами, достаточными для объяснения гравитационного взаимодействия и полей. Трудно, если вообще возможно, избежать вывода: математическим знанием исчерпываются все наши знания относительно различных аспектов реальности.
А сколь реальна математика? Реально ли физически то, что она утверждает относительно реального мира? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к некоторым приложениям математики. Иоганн Кеплер провозгласил, что каждая планета движется вокруг Солнца по эллиптической орбите. Но был ли эллипс именно тем, что искал Кеплер? Разумеется, нет. Кеплер на протяжении нескольких лет безуспешно пытался подобрать кривую, наилучшим образом соответствующую результатам астрономических наблюдений траектории движения Марса, и об эллипсе он подумал потому, что эта кривая была известна в математике. И когда Кеплер обнаружил, что эллиптическая орбита достаточно хорошо согласуется с данными наблюдений и отклонения от орбиты лежат в пределах ошибки наблюдений, то решил, что эллипс и есть точная форма орбиты Марса. Однако в действительности планеты движутся вокруг Солнца не по эллипсам. Если бы в Солнечной системе была одна-единственная планета, которая, как и само Солнце, имела идеально шарообразную форму, то она действительно обращалась бы вокруг Солнца по эллиптической орбите. Но в реальности на любую планету действует не только гравитационное притяжение Солнца — на ее движение влияют другие планеты и их естественные спутники. Поэтому орбита планеты по форме отличается от эллипса. К счастью, астрономические наблюдения Тихо Браге, результатами которых пользовался Кеплер, хотя и превосходили по точности все предшествовавшие наблюдения, но все же были достаточно грубы, и это позволило Кеплеру считать эллипс хорошим приближением к истинной орбите.
В качестве другого примера приложения математики можно привести риманову геометрию и тензорный анализ. Были ли риманова геометрия и тензорный анализ совершенно адекватным математическим аппаратом для общей теории относительности? Скорее всего нет. Есть основания считать, что Эйнштейн просто попытался наилучшим образом распорядиться тем математическим аппаратом, который, по его мнению, соответствовал нуждам теории относительности. Сколь ни остроумен замысел теории относительности, она носит несколько искусственный характер. Вследствие своей чрезмерной сложности теория относительности мало применима при решении астрономических задач. Правильность ее пока подтверждается только тем, сколь точно она предсказала три астрономических явления, о которых мы уже говорили. Если из истории науки можно извлекать какие-то уроки, то следует предполагать, что когда-нибудь на смену общей теории относительности придет более совершенная теория.