Одно многообразие отличается от другого тем, что имеет отверстие (или более чем одно отверстие). Для тополога шар, шкатулка, булка и пузырь суть одно и то же, а бублик — нет. Если воображаемую резиновую ленту (не менее важный для топологического воображения инструмент, чем атлас) надеть на воображаемый объект, она будет сжиматься.
Если обернуть очень тугую ленту вокруг шара, она соскользнет, причем вне зависимости от того, на какую часть шара она была надета. С бубликом все иначе: будучи продетой сквозь отверстие, резиновая лента, какой бы тугой она ни была, не соскользнет. Резиновая лента соскользнет с шара, шкатулки, булки или пузыря без отверстий, и это означает, что они схожи, или, говоря языком топологии, диффеоморфны друг другу (это означает, что эти объекты можно трансформировать один в другой).
Это подводит нас к вопросу, в чем заключается гипотеза Пуанкаре. Чуть больше ста лет назад Пуанкаре задал невинный вопрос: если трехмерное многообразие гладкое и односвязное, то диффеоморфно ли оно трехмерной сфере? Гладкое многообразие — это нескрученное многообразие (в самом деле, скомканные листы осложнили бы работу с картами). Односвязность предполагает отсутствие в объекте отверстий. Мы знаем, что такое диффеоморфность. Мы также знаем, что значит трехмерное. Итак, трехмерное многообразие — это поверхность четырехмерного объекта.
Теперь разберем, что такое сфера. Это множество точек, равноудаленных от данной фиксированной точки, называемой центром. Одномерная сфера, знакомая нам по школьному курсу геометрии, представляет собой эту совокупность точек, расположенных в двухмерном пространстве, то есть на плоскости. Двухмерная сфера — поверхность шара — это совокупность точек в трехмерном пространстве.
Сферы особенно интересны топологам оттого, что относятся к гиперповерхностям, то есть объектам, которые обладают столькими размерностями, сколько возможно в данном пространстве (одно измерение в двухмерном пространстве, два измерения — в трехмерном и так далее). Трехмерная сфера, свойства которой так занимали Анри Пуанкаре, — это поверхность четырехмерного шара. Мы не в состоянии вообразить этот объект — и тем не менее, возможно, живем в нем.
Топологи часто подходят к задачам, пробуя решить их для разных размерностей. Эквивалент гипотезы Пуанкаре для двух измерений — это азы топологии (вы, разумеется, помните, что поверхности шара, шкатулки, булки и пузыря диффеоморфны друг другу). Но в случае трех измерений, как раз и описываемом гипотезой Пуанкаре, это становится затруднительно. Математики сражались с гипотезой Пуанкаре для трех измерений большую часть XX века, но первые успехи принесла работа над более высокими размерностями.