Говорят, правда, что один из ныне живущих людей, американский геометр Уильям Терстон, способен вообразить четыре измерения, а его геометрическая интуиция несравнима ни с чьей. "Когда вы смотрите на него или говорите с ним, часто бывает так — он смотрит в пространство, и вы понимаете — он видит в этот момент картинки, — рассказал мне Джон Морган, профессор Колумбийского университета, друг Терстона и соавтор одной из книг о доказательстве Перельманом гипотезы Пуанкаре. — Такого глубокого интуитивного проникновения в геометрию я не встречал ни у кого. Есть ли другой такой математик, как Билл Терстон? Как человек может обладать такой способностью к постижению геометрии? У меня самого есть приличные математические способности, но я и близко не подошел к умозаключениям, какие делает он".
Терстон говорил о трехмерных множествах в четырехмерных пространствах так, как если бы он мог видеть их и манипулировать ими. Он рассуждал о том, как их можно разрезать на кусочки и что при этом произойдет. Для тополога это очень важное упражнение. Сложные объекты обыкновенно изучают, разделяя их на более простые составные части. Понимание свойств этих частей и их связей существенно для понимания более крупного объекта.
Терстон предположил, что трехмерные многообразия можно "препарировать" и получить объекты, относящиеся к одной из восьми разновидностей трехмерных многообразий. Было бы не совсем верным назвать гипотезу Терстона шагом на пути доказательства гипотезы Пуанкаре. На самом деле гипотеза Терстона более сложна, хотя и менее знаменита, и если бы ему самому удалось доказать свою гипотезу, справедливость гипотезы Пуанкаре стала бы простым ее следствием. Но Терстон не смог этого сделать.
"Я видел, что Билл [Терстон] делает успехи, — вспоминает Морган. — И когда у него ничего не вышло, я подумал — раз у него не получилось, не получится ни у кого. Как сказал как-то Джефф [Чигер], "заниматься гипотезой Пуанкаре стало слишком трудно".
Пока другие математики благоразумно избрали себе другую сферу приложения усилий, Ричард Гамильтон, профессор из Беркли, продолжал биться над гипотезой Пуанкаре, а затем над гипотезой Терстона. Эпитет, которым обычно награждали Гамильтона журналисты, — "колоритная личность". Это подразумевало, что Гамильтона интересовала не только математика, но также серфинг и женщины. Он общителен, обаятелен и, безусловно, блестящий ученый — потому что именно он открыл путь к доказательству обеих гипотез.
В начале 1980-х Гамильтон предложил подход, который казался обманчиво простым. Поверхность сферы в любой размерности обладает постоянной положительной кривизной. Это основное свойство объекта. Если кто-нибудь смог бы найти способ измерить кривизну поверхности неопознаваемого и невообразимого трехмерного шара, а после принялся бы его деформировать, все время измеряя кривизну поверхности, то пришел бы в точку, в которой кривизна постоянна и положительна. Отсюда следовало бы, что шар является трехмерной сферой. То есть что шар все это время был сферой, поскольку трансформация не изменяет топологические свойства объектов, а просто делает их более узнаваемыми.