Гамильтон открыл способ помещения метрики на шар, чтобы измерить кривизну его поверхности, и составил уравнение, описывающее, как шар и метрика будут меняться в процессе деформации. Гамильтон доказал, что в случае деформированного шара кривизна поверхности будет не уменьшаться, а, напротив, расти. Это помогло ему показать, что кривизна будет положительной. Но как убедиться в том, что так будет всегда, Гамильтон не знал.
Рассмотрим простую функцию вроде тех, которые вы изучали в школе, например \/х. Ее график будет выглядеть как плавная линия, пока не дойдет до точки, в которой х = о. Здесь начинается бедлам: делить на о нельзя: график стремится к бесконечности. Эта точка называется сингулярностью.
Процесс трансформирования метрики, описываемый уравнением, предложенным Гамильтоном, назвали потоками Риччи. Если воздействовать на воображаемую метрику невообразимого шара этим теоретическим инструментом, то могут возникнуть сингулярности.
Гамильтон предполагал, что их можно обойти. Для этого при подходе к ним функцию — поток Риччи — останавливают, вручную исправляют ошибку и возобновляют поток. Когда математики говорят, что они исправили что-то вручную, это означает, что в проблемном месте они воспользовались другой функцией. Похожее часто происходит в компьютерном программировании: в различных условиях пользуются разными функциями. Например, функция всегда равна ху если х равен или больше о, и равна -х во всех случаях, когда х меньше о. В топологии, где воображаемые участвуют в воображаемой деформации воображаемых объектов, такое вмешательство называют хирургией. Поэтому метод, предложенный Гамильтоном, называется потоками Риччи с хирургией.
Гамильтон не был первым математиком, решившим, что он знает, как доказать гипотезу Пуанкаре. И не он первым столкнулся с непреодолимыми препятствиями на пути к доказательству. Чтобы его программа, то есть план доказательства, сработала, истинными должны были оказаться несколько вещей. Во-первых, кривизна поверхности, которую стремился измерить Гамильтон, должна иметь постоянный предел. Если предположить, что это так, то истинность доказательства подтверждается. Но как узнать, что предположение верно? Во-вторых, хотя Гамильтон разработал метод потока Риччи с хирургией и показал, что этот метод эффективен в некоторых случаях, он не смог доказать, что его можно применить к любым сингулярностям. Он размышлял над их классификацией, но не мог найти универсальный способ обезвредить их или даже определить все их разновидности. Так Гамильтон стал еще одним математиком, который делал успехи, но не преуспел и которому, по выражению Моргана и Чигера, стало "слишком трудно заниматься гипотезой Пуанкаре".