Читатель
да благоволит изобразить на листе бумаги
любые два отрезка и, в качестве несложного
упражнения, убедиться, что множество
точек, расположенных на первом отрезке,
и множество точек, расположенных на
втором отрезке, являются эквивалентными.
Но не
окажутся ли все вообще бесконечные
множества эквивалентны друг другу?
Великое открытие Кантора состояло в
том, что он обнаружил неэквивалентные
бесконечности. Так, одна из его
замечательных теорем гласила, что
множество всех точек прямой и множество
всех натуральных чисел неэквивалентны.
Оказалось, что наиболее знакомые нам
бесконечные множества подразделяются
на два основных рода, так что множества
первого рода эквивалентны друг другу
и множества второго рода эквивалентны
друг другу, а множества разных родов
друг другу не эквивалентны. Множества
первого рода называются счётными,
к ним относятся: натуральный ряд, любая
бесконечная часть натурального ряда
(например, множество всех квадратов),
множество всех дробей, множество всех
мыслимых комбинаций (как ведущих к
выигрышу, так и проигрышных) пластинок
из четырёхчленого набора, заявленного
в игре предыдущей главы. Множества
второй категории называются континуальными;
таковы множество всех точек прямой,
всех точек плоскости, всех окружностей,
множество всех частей натурального
ряда. Бывают и такие бесконечные
множества, которые не являются ни
счётными, ни континуальными, но в
“математическом быту” такие множества
почти не встречаются.
Позволим
себе теперь рассматривать и другие
числа, помимо натуральных, - те, о которых
говорилось в главе 4 “Длины и числа”.
Хотя каждое рациональное число может
быть записано посредством многих дробей,
а более точно - бесконечного их количества,
множество рациональных чисел оказывается
эквивалентным множеству дробей, то есть
счётным. С другой стороны, как известно
из средней школы, каждому действительному
числу можно поставить в соответствие
некоторую точку на прямой, и при этом
каждая точка будет сопоставлена ровно
с одним числом, своей координатой;
тем самым обнаруживается, что множество
точек прямой и множество действительных
чисел эквивалентны и, следовательно,
множество действительных чисел
континуально. Как было сообщено в
предыдущем абзаце, континуальность и
счётность не могут сочетаться в одном
и том же множестве. Поэтому множество
рациональных чисел не может совпасть
с множеством всех действительных чисел,
а отсюда следует, что существуют такие
действительные числа, которые не являются
рациональными; их называют иррациональными