. Таким образом, сам факт существования
иррациональных чисел, без указания
какого-либо конкретного иррационального
числа, может быть получен из совершенно
общих рассуждений.
И ещё
об одном виде чисел - о так называемых
алгебраических числах . Действительное
число называется алгебраическим,
если оно является корнем какого-либо
алгебраического уравнения. Всякое
уравнение имеет две части, левую и
правую, разделённые (или, если угодно,
соединённые) знаком равенства.
Алгебраическими называют уравнения
особо простого вида: в правой части
стоит число ноль, а левая есть многочлен
какой-то степени с одним неизвестным и
целыми коэффициентами, которые могут
быть как положительными, так и
отрицательными. Частный вид алгебраических
уравнений образуют те квадратные
уравнения, у которых все коэффициенты
(при иксе в квадрате, при иксе, свободный
член) суть целые числа. Всякое рациональное
число есть число алгебраическое (вопрос
к читателю: почему?), и алгебраические
числа образуют как бы следующий за
рациональными разряд чисел по шкале
“от простого к сложному”. Математиков
долгое время интересовал вопрос, бывают
ли действительные числа, не являющиеся
алгебраическими; такие числа называют
“трансцендентными”. Существование
трансцендентных чисел было установлено
в 1844 году путём приведения соответствующих
достаточно сложных примеров; лишь в
1873 году и, соответственно, в 1882 году была
доказана трансцендентность известных
чисел e и . Однако, если не
требовать указания конкретных примеров
трансцендентных чисел, само существование
таковых может быть установлено тем же
методом, каким выше было установлено
существование чисел иррациональных.
Именно, в 1874 году Кантор показал, что
множество всех алгебраических уравнений
счётно, из чего уже несложно вывести
счётность множества алгебраических
чисел. А мы знаем, что множество всех
действительных чисел континуально, так
что оно никак не может состоять из одних
только алгебраических чисел.
Понятие
эквивалентности служит основой для
возникновения понятия количества
элементов множества. Количество -
это то общее, что имеется у всех
эквивалентных друг другу множеств. Для
каждой коллекции эквивалентных друг
другу множеств это количество своё -
одно и то же для всех множеств этой
коллекции. Возьмём, например, множество
чудес света, множество дней недели,
множество нот гаммы, множество смертных
грехов и множество федеральных округов
России. Все они эквивалентны. Просвещённый
читатель добавит к ним множество городов,
споривших за честь быть родиной Гомера,
и множество земных душ “по”, присутствующих,
согласно учению китайцев, в каждом
человеке. И множество столбов того дома
мудрости, о котором говорится в “Притчах
Соломона”. И множество невест ефрейтора
Збруева. И множество пядей во лбу. Если
теперь рассмотреть не только перечисленные
только что множества, но и все мыслимые
множества, эквивалентные перечисленным,
то обнаружим, что в них присутствует
некая общность. Эта общность есть
количество элементов в каждом из них.
В данном конкретном случае это количество
называется, как всем известно, так: