Так
зачем же говорить о такой поверхности,
которой нет и не может быть, возмутится
читатель. А дело в том, что такая
поверхность есть, только “живёт” она
в четырёхмерном пространстве. Чтобы
понять, как можно изготовить бутылку
Клейна при помощи четвёртого измерения,
следует вновь обратиться к флатландской
аналогии. Обычная бутылка есть двумерная
поверхность в трёхмерном пространстве.
Что является её аналогом на плоскости?
Тень бутылки? Нет, аналог должен быть
на одно измерение меньше окружающего
пространства, то есть в данном случае
одномерным. Обведём карандашом контур
тени, сделав в этом обводе перерыв на
месте отверстия горлышка. Полученная
линия и является искомым одномерным
аналогом двумерной бутылки. Представим
себе эту линию в виде тонкой и гибкой
проволоки. У этой проволочной фигуры
можно выделить дно, горлышко и две
стенки. Можно ли, не выходя за пределы
плоскости, изогнуть горлышко так, чтобы
коснуться им дна? Разумеется, можно, но
только с наружной стороны; коснуться с
внутренней стороны (то есть со стороны
тени) невозможно, для этого пришлось бы
пересечь одну из стенок. Однако можно
коснуться и с внутренней стороны, если
разрешить выход за пределы плоскости:
в том месте, где проволочное горлышко
хочет пересечь проволочную стенку, надо
приподнять горлышко над плоскостью,
провести его над стенкой наподобие
моста, а затем снова опустить на ту же
плоскость - но уже внутри бутылки. И
дотянуть горлышко до дна. А теперь,
напрягая воображение и прибегая к
аналогии, можно постараться представить
себе изгибание горлышка двумерной
бутылки в четвёртом измерении - с
последующим касанием дна изнутри.
И
евклидово пространство средней школы,
и трёхмерная сфера ориентируемы. В них
отсутствуют траектории, приводящие к
зеркальному отражению. Но теоретические
представления о возможной геометрической
структуре Вселенной не исключают того,
что она неориентируема. А тогда
путешествие, приводящее к зеркальному
отражению путешественника, может быть
осуществлено и без выхода из нашего
трёхмерного мира. Таким образом, не
вполне прав был поэт, сказавший:
Какая
тяжкая обида
Существовать
и твёрдо знать,
Что из
пустых пространств Евклида
Нам
никуда не убежать.
И нам
с тобою неужели
Идти в
грядущие года -
Как в
бесконечность параллели,
Не
пересекшись никогда.
1
Благодарю В. И. Беликова, подсказавшего
это свидетельство.
2 В
8-томнике В. А. Каверина (1980) фамилия
персонажа Ногин. (Примеч. ред.)
3 Этот
многим знакомый пример листа Мёбиуса
автор узнал от Г. Б. Шабата.
www.e-puzzle.ru
http://www.e-puzzle.ru