Есть идея! (Гарднер) - страница 108

Минимальные деревья обладают интересными свойствами. Например, все рёбра пересекаются только в вершинах, причем в одной вершине пересекается не более 5 ребер.

Минимальные деревья отнюдь не обязательно совпадают с кратчайшей сетью, соединяющей n точек. Напомним, что дополнять сети новыми вершинами не разрешается. Если снять запрет на новые вершины, то сети могут стать короче. В качестве простого примера достаточно рассмотреть четыре вершины единичного квадрата. Минимальное дерево состоит из любых трех сторон квадрата (рис. 13, слева). Предположим, что разрешается вводить новые вершины. Существует ли тогда сеть короче 3, соединяющая четыре вершины?

Большинство людей считает, что минимальную сеть образуют две диагонали квадрата (рис. 13, посредине), но это не верно. Правильное решение изображено на рис. 13, справа. Суммарная длина двух диагоналей квадрата равна 2√2 ≈ 2,82… Суммарная длина сети на правом рисунке меньше, она равна лишь 1 + √3 ≈ 2,73…

Общая задача о построении минимальной сети, соединяющей n заданных точек на плоскости (при условии, что разрешается вводить новые вершины), известна под названием задачи Штейнера. Она решена лишь в отдельных частных случаях. Эффективный алгоритм, позволяющий определять положение «точек Штейнера» (новых вершин) минимального дерева Штейнера, соединяющего n заданных точек плоскости, не известен. Задача Штейнера имеет многочисленные приложения в технике — от элементов микросхем, используемых в ЭВМ, до прокладки кратчайших сетей железных дорог, воздушных маршрутов, телефонных линий и любых других видов транспорта и связи.

В чаще тропических джунглей расположен госпиталь, в котором работают три хирурга: Джонс, Смит и Робисон.

Вождь местного племени поступил в госпиталь по подозрению в опасном инфекционном заболевании, требовавшем неотложного хирургического вмешательства. Ввиду особой сложности операции, ее должны были проводить, сменяя друг друга, все три хирурга. При осмотре вождя они могли заразиться и стать носителями инфекции.

Каждый хирург оперирует в тонких резиновых перчатках. Если он болен, то инфицируется внутренняя поверхность перчаток, соприкасающаяся с его руками. Если болен вождь, то инфицируется наружная поверхность перчаток.

Перед самым началом операции в комнату, где хирурги мыли руки, вбежала старшая сестра мисс Клини.

Мисс Клини. У меня для вас плохие новости, уважаемые эскулапы.

Мисс Клини. У нас остались только две пары стерильных перчаток: одна пара белых и одна пара синих.

Доктор Джонс. Только две пары? Если я оперирую первым, то обе стороны моих перчаток могут оказаться зараженными. После Смита, если он будет оперировать вторым, окажутся зараженными обе стороны другой пары перчаток, и Робисону не в чем будет оперировать.