Есть идея! (Гарднер) - страница 25

10x + 3y + z/2 = 100,

x + y + z = 100.

Умножив правую и левую часть первого уравнения на 2, избавимся от двойки в знаменателе, после чего вычтем из первого уравнения второе. Тем самым мы исключим z и получим «укороченное» уравнение

19x + 5y = 100.

Какие целочисленные значения могут принимать x и y? Один из способов получить ответ на этот вопрос состоит в том, чтобы преобразовать уравнение, оставив в левой части только член с наименьшим коэффициентом при неизвестном: 5y = 100 − 19x. Разделив обе части уравнения на 5, получим у = (100 − 19x)/5. Разделим теперь 100 и 19x на 5, выделив заведомо целую часть и дробный остаток (если он существует):

y = 20 − Зx − 4x/5.

Ясно, что выражение 4x/5 должно принимать целочисленные значения. Следовательно, x должен быть кратен 5. Наименьшее кратное 5 равно 5, что соответствует y = 1 и (если вернуться к любому из двух исходных уравнений) z = 94. При остальных значениях x, кратных 5 (и больших 5), у принимает отрицательные значения. Значит, наша задача допускает единственное решение: фермер купил 5 коров, 1 свинью и 94 овцы.

Варьируя цены на коров, свиней и овец, можно самостоятельно открыть многие премудрости элементарной теории диофантовых уравнений. Предположим, например, что коровы продаются по 4 доллара, свиньи — по 2 доллара и овцы — по ⅓ доллара за голову. Сколько животных купил фермер на 100 долларов, если известно, что он купил по крайней мере 1 корову, 1 свинью и 1 овцу? Эта задача допускает 3 решения. А что можно сказать, если корова стоит 5 долларов, свинья — 2 доллара и овца — 50 центов? Оказывается, что в этом случае решения не существует.

Теория диофантовых уравнений представляет собой обширный раздел теории чисел, имеющий бесчисленные применения во многих областях науки и техники. Одна из знаменитых задач на решение диофантовых уравнений известна под названием великой (или последней) теоремы Ферма. В ней требуется найти при любых целых положительных n > 2 решение в целых числах уравнения x^>n + y^>n = z^>n (при n = 2 эти решения называются пифагоровыми тройками; существует бесконечно много пифагоровых троек, начиная с 3² + 4² = 5²). Великая теорема Ферма — наиболее известная из нерешенных проблем теории чисел. До сих пор никому еще не удалось ни найти хотя бы одно решение уравнения x^>n + y^>n = z^>n в целых числах (при n > 2), ни доказать, что такого решения не существует.

Как-то раз в аптеку доставили 10 флаконов лекарства. В каждом флаконе по 1000 пилюль. Не успел провизор мистер Уайт расставить флаконы на полке, как почтальон принес телеграмму.