Есть идея! (Гарднер) - страница 41

А что произойдет, если самолет, взлетев с Северного полюса, возьмет курс на юго-запад? Эта задача обратна предыдущей. Полет, как и прежде, будет происходить по локсодроме, но сказать, где приземлится самолет в конце пути, мы не можем. В этом можно легко убедиться, обратив время: из какой бы точки, расположенной на экваторе, ни вылетел самолет, он, двигаясь вспять, неизменно окажется на Северном полюсе. Если же самолет, достигнув экватора, пересечет его и будет лететь тем же курсом, то локсодрома стянется к Южному полюсу.

При проецировании на плоскость, касательную к полюсу (и параллельную плоскости экватора), локсодрома переходит в равноугольную, или логарифмическую, спираль. Эта спираль пересекает радиус-вектор под постоянным углом.

Задача о четырех жуках, входит в сокровищницу занимательной математики. Она также связана с построением маршрутов и логарифмической спиралью, но допускает неожиданно простое решение, избавляющее от необходимости производить утомительные выкладки. Вы познакомитесь с ней, прочитав небольшой рассказ о семействе Пицца и их любимцах — четырех черепашках.

Том Пицца, тренер и художественный руководитель черепашек, выдрессировал своих питомцев так, что Абнер (A) всегда полз к Берте, Берта (B) — к Чарлзу, Чарлз (C) — к Далиле (D) и Далила — к Абнеру. Однажды он расставил черепашек по углам квадратной комнаты так, что они образовали вершины квадрата ABCD, включил секундомер и принялся наблюдать за тем, что произойдет.

— Интересно получается, сынок, — сказал мистер Пицца. — Каждая черепашка ползет прямиком к своему соседу справа. Все черепашки движутся с одинаковой скоростью и поэтому в любой момент времени находятся в вершинах некоторого квадрата (рис. 9).

— И квадрат этот все время поворачивается и уменьшается, — добавил Том. — Смотри! Видишь? Черепашки сошлись в центре!

Предположим, что каждая черепашка ползет с постоянной скоростью 1 см/с и что комната, где они находятся, имеет форму квадрата со стороной 3 м. Через сколько времени черепашки встретятся в центре комнаты? (Каждую черепашку мы условно принимаем за точку.)

Мистер Пицца попытался было решить задачу, интегрируя по траектории черепашки, и уже достал из кармана программируемый микрокалькулятор последней модели, как вдруг миссис Пицца воскликнула:

— Не нужно никакой высшей математики, Пеппероне! Задача решается очень просто! Черепашки встречаются в центре комнаты через 5 мин.

Какая идея пришла в голову миссис Пицца?

Рассмотрим каких-нибудь двух черепашек, расположенных в двух соседних вершинах квадрата, например Абнера и Берту. В каждый момент Берта движется под прямым углом к Абнеру, ползущему к ней, так как Абнер всегда ползет к Берте, а Берта всегда ползет к Чарлзу. Именно поэтому черепашки все время находятся в вершинах квадрата. Поскольку Берта никогда не ползет к Абнеру и не уползает от него, то ее движение не увеличивает и не уменьшает разделяющее их расстояние и при подсчете времени движением можно пренебречь. Дело обстоит так, как если бы Берта оставалась в своем углу комнаты, а Абнер полз к ней вдоль стенки.