Есть идея! (Гарднер) - страница 42

В этом и состоит ключ к решению задачи. Криволинейный путь Абнера должен совпадать по длине со стороной начального квадрата, а так как эта сторона равна 300 см и Абнер ползет со скоростью 1 см/с, то он доползет до Берты за 300 с, или 5 мин. То же можно сказать и о всех остальных черепашках. Следовательно, все черепашки встречаются в центре комнаты по истечении 5 мин.

При помощи микрокалькулятора можно построить траектории черепашек — кривые, описываемое вершинами вращающегося и одновременно сжимающегося квадрата, если нанести на диаграмму последовательные положения вершин через определенные промежутки времени. Результат такого рода выкладок представлен на рис. 10.

Можете ли вы обобщить задачу на случай, когда в исходной позиции точки расположены в вершинах любого правильного многоугольника? Начните с равностороннего треугольника, затем перейдите к правильному пятиугольнику и т. д. Можете ли вы указать общую формулу, позволяющую по известной длине стороны исходного многоугольника вычислять длину пути? Что произойдет в предельном случае, когда бесконечно много точек (черепашек) начинают двигаться по направлению к своим соседям справа (или слева) и вершин многоугольника с бесконечным числом сторон? Встретятся ли они когда-нибудь? Предположим теперь, что исходные многоугольники неправильные. Что произойдет, например, если четыре черепашки займут исходные позиции в вершинах прямоугольной, а не квадратной комнаты?

Предположим, что черепашки Тома Пиццы после встречи в центре комнаты расползаются, причем каждая из них движется по прямой от своего соседа слева? Можно ли утверждать, что черепашки непременно расползутся по углам комнаты?

Однажды Мабель вздумала показать проф. Квибблу головоломку из спичек.

Мабель. Нужно построить четыре одинаковых по размеру квадрата, передвинув только 2 спички. Ломать спичку, укладывать их по две или так, чтобы они пересекались, не разрешается.

Проф. Квиббл. Ваша головоломка, милая Мабель, известна давным-давно. Чтобы решить ее, нужно передвинуть вот эти 2 спички.

Затем проф. Квиббл отложил 4 спички, после чего на столе осталось 12 спичек.

Проф. Квиббл. Попробуйте составить из этих 12 спичек 6 единичных квадратов (со стороной, равной длине спички).

Сколько Мабель ни билась, решить головоломку проф. Квиббла ей так и не удалось. Не могли бы вы помочь Мабель?

Мабель упустила из виду одно важное обстоятельство: ставя задачу, проф. Квиббл не говорил, что спички должны оставаться на плоскости. Если же выйти из плоскости в трехмерное пространство, то из 12 спичек можно составить 12 ребер куба, у которого, как известно имеется 6 квадратных граней. Мы видим, что ключ к решению спичечной головоломки проф. Квиббла аналогичен идее, позволившей Рози по-новому разрезать головку сыра.