Есть идея! (Гарднер) - страница 49

Как и в предыдущем случае, ответ задачи мы получаем сразу же, как только предположим, что задача разрешима! Действительно, если решение задачи существует, то объем части сферы, оставшейся после просверливания сквозного отверстия, не должен зависеть от диаметра отверстия. Устремим поэтому диаметр отверстия к наименьшему значению — нулю. Отверстие при этом сжимается в прямую — диаметр сплошной сферы. Следовательно, объем оставшейся части сферы равен 4/3·π·3³ куб. см = 36π куб. см.

Обед шел к концу. Мистер Джонс сидел за столом вместе с женой, десятилетним сыном и семилетней дочерью Сьюзен.

Был день рождения Сьюзен, и миссис Джонс испекла небольшой квадратный торт 20 см × 20 см и толщиной 5 см, обильно покрытый глазурью сверху и с четырех сторон.

Мистер Джонс. Замечательный торт! Всем хватит. Первый кусок торта я отрежу для Сьюзен. Ей сегодня исполнилось 7 лет, и я отступлю на 7 см от углов и проведу разрезы через центр.

Кусок получился причудливой формы, и Сьюзен, которой он достался, пожаловалась.

Сьюзен. Папа, ты отрезал мне маленький кусочек, меньше четверти! Даже если ты отрезал мне четверть торта, то глазури на ней маловато!

Брат Сьюзен придерживался другого мнения.

Брат. Какая ты жадина, Сьюзен! Мне кажется, что папа отрезал тебе слишком много. Не мешало бы тебе кое с кем поделиться излишками.

Мистер Джонс. Вы оба заблуждаетесь. Сьюзен получила ровно четверть торта и ровно четверть глазури.

Не могли бы вы объяснить, прав ли мистер Джонс?

Чтобы убедиться в правоте мистера Джонса, достаточно продолжить линии разрезов за центр до пересечения с противоположными сторонами торта. Продлив каждый разрез, вы тотчас же убедитесь, что они делят торт на четыре конгруэнтные части.

Задача о разрезании пирога легко обобщается с квадрата на другие правильные многоугольники.

Предположим, например, что торт или праздничный пирог испечены в форме равностороннего треугольника и разрезы проведены под углом 120° из центра (рис. 20). Ясно, что каждый кусок составляет треть пирога. В этом нетрудно убедиться, если провести штриховую линию. Если пирог испечен в форме правильного пятиугольника, то, проведя из центра два разреза под углом 72°, мы отрежем от пирога одну пятую. Если пирог имеет форму правильного шестиугольника, то, чтобы отрезать от него одну шестую, необходимо провести из центра два разреза под углом 360° : 6 = 60°. Тот же метод обобщается и на правильные многоугольники с большим числом сторон, хотя угол между разрезами не всегда выражается целым числом градусов.