Теория образования периодических комет и теория происхождения метеоров завершают московский период деятельности Ф. А. Бредихина. Работы этого периода, печатавшиеся как в «Анналах Московской обсерватории», так и в других русских и иностранных научных изданиях, принесли Ф. А. Бредихину мировую славу и признание.
В 1877 году он был избран членом — корреспондентом Академии наук. За этим последовало избрание его почетным членом почти всех русских научных обществ, имевших отношение к астрономии или математике. Он был особенно тесно связан с Московским обществом испытателей природы, в котором состоял членом с 1862 года, а с 1886 по 1890 год — его президентом. После переезда в Петербург в 1890 году он стал первым президентом организованного тогда Русского астрономического общества.
В 1883 году Бредихин был избран членом Леопольдино — Каролинской академии в Германии; в 1884 году — почетным членом Королевского астрономического общества в Лондоне и Ливерпульского астрономического общества; в 1889 году — членом — корреспондентом Итальянского общества спектроскопистов, а также Математического и Естественно — научного общества в Шербурге. В 1892 году Падуанский университет присудил Ф. А. Бредихину почетную докторскую степень, а в 1894 году он был избран членом — корреспондентом «Бюро долгот» в Париже.
В 1890 году Ф. А. Бредихин был избран членом нашей Академии наук и назначен директором Пулковской обсерватории. Перебравшись в Пулково, он сразу выступил как энергичный преобразователь.
В 1892 году Ф. А. Бредихин отправился за границу и посетил обсерватории в Берлине, Потсдаме, Париже, Медоне и Гринвиче. Эту поездку он предпринял после посещения русских обсерваторий в Москве, Харькове, Николаеве, Одессе, Киеве и Варшаве.
Такие контакты способствовали обмену опытом между астрономами мира. Многие из ученых посетили и Пулково.
С. К. Костинский, ученик и многолетний сотрудник Ф. А. Бредихина, писал в 1904 году: «Имея широкий научный взгляд, он ясно сознавал, что все наши теории, основанные на наблюдениях, должны беспрерывно проверяться подобными же наблюдениями, что, занимаясь теоретическими выкладками по астрономии, мы должны безустанно направлять свой взор к небу (и в переносном, и в прямом смысле!) и что только гармоничное сочетание практики с теорией способно вести нас по правильному пути эволюции нашей науки, как это ясно показывает вся ее история. Федор Александрович часто говорил, что «нельзя сводить всю астрономию к одним вычислениям или к переворачиванию старых формул на новый лад» и что «тот не астроном, кто не умеет сам наблюдать!», потому что такой человек не мог бы даже отнестись критически к тому материалу, который кладется им в основание своих вычислений и теоретических соображений. А где нет строгой и беспристрастной критики, нет и науки!»