Последняя строка первой из сейчас (стр. 86) рассмотренных пирамид:
12345678 × 9 + 9= 111111111
объясняет происхождение целой группы интересных арифметических курьезов, собранной в нашем музее в следующую таблицу:
Примем во внимание, что
12345678 × 9 + 9 = (12345678 + 1) × 9 = 12345679 × 9.
Поэтому
12345679 × 9 = 111111111.
А отсюда прямо следует, что
12345679 × 9 × 2 = 222222222
12345679 × 9 × 3 = 333333333
12345679 × 9 × 4 = 444444444 и т. д.
Что получится, если число 111111111, с которым мы сейчас имели дело, умножить само на себя? Заранее можно предвидеть, что результат должен быть диковинный, – но какой именно? Если вы обладаете способностью отчетливо рисовать в своем воображении ряды цифр, то вам удастся найти интересующий нас результат, не прибегая к умножению на бумаге. Ведь, в сущности, здесь дело сводится только к надлежащему расположению частных произведений, потому что умножать приходится все время лишь единицу на единицу – действие, могущее затруднить разве лишь фонвизинского Митрофанушку, размышляющего о результате умножения «единожды один». Сложение же частных произведений сводится к простому счету единиц [23] . Приняв во внимание ступенчатое расположение этих девяти рядов единиц, мы легко можем найти – даже и не выписывая воспроизводимой здесь таблицы, – результат этого единственного в своем роде умножения (при выполнении которого не приходится нигде прибегать к действию умножения): 12345678987654321.
Все девять цифр выстроены в стройном порядке, симметрично убывая от середины в обе стороны. Те из читателей, которых утомило обозрение числовых диковинок, могут покинуть здесь эту галерею и перейти в следующее отделение арифметической кунсткамеры, где показываются фокусы и выставлены числовые исполины; я хочу сказать, – они могут прекратить чтение этой главы и обратиться к дальнейшим. Но кто желает познакомиться еще с несколькими интересными достопримечательностями из мира чисел, тех приглашаю осмотреть со мною несколько ближайших витрин.
Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи? Перед нами три плоских кольца, вращающихся одно в другом. На каждом кольце написаны 6 цифр в одном и том же порядке, иначе говоря – написано одно и то же число: 142857
. Причина, заставившая поместить эти кольца в нашу арифметическую кунсткамеру, заключается в следующем удивительном свойстве их: как бы ни были повернуты кольца, мы при сложении двух написанных на них чисел – считая от любой цифры в направлении начерченной стрелки – во всех случаях получим… то же самое шестизначное число (если только результат вообще будет 6-значный), лишь немного подвинутое!