Астрофизик Джон Барроу так обобщил этот логический подход: «Наука основана на математике; математика не в состоянии раскрыть все истины; следовательно, наука не в состоянии раскрыть все истины».
Подобные аргументы могут быть верны или неверны, но потенциальные недостатки у такой точки зрения имеются. Профессиональные математики по большей части игнорируют в своей работе теорему о неполноте. Дело в том, что теорема о неполноте начинает с анализа утверждений, которые ссылаются сами на себя; в логике такие утверждения называют самоотносимыми. Приведем примеры парадоксальных утверждений:
Это высказывание ложно.
Я лжец.
Это утверждение невозможно доказать.
В первом случае, если высказывание истинно, это значит, что оно ложно. Если высказывание ложно, то само утверждение истинно. Точно так же и во втором: если я говорю правду, это означает, что я лгу; а если я лгу, то я говорю правду. В последнем случае, если высказывание истинно, то доказать его истинность невозможно.
(Второе высказывание — это знаменитый парадокс лжеца. Критский философ Эпименид обычно иллюстрировал этот парадокс следующим утверждением: «Все критяне лжецы». Однако св. Павел не уловил смысла этого высказывания и написал в послании к Титу: «Из них же самих один стихотворец сказал: „Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые“. Свидетельство это справедливо».)
Теорема о неполноте строится на утверждениях вроде «Это высказывание нельзя доказать при помощи аксиом арифметики» и сплетает сложную паутину подобных самоотносимых парадоксов.
Хокинг, однако, использует теорему о неполноте, чтобы показать, что теория всего невозможна. Он утверждает, что ключ к теореме Гёделя — тот факт, что математика вообще самоотносима и что физика тоже страдает этой болезнью. Наблюдателя невозможно изолировать от процесса наблюдения; это означает, что физика всегда будет ссылаться сама на себя — ведь мы не в состоянии покинуть Вселенную. В конце концов, наблюдатель тоже состоит из атомов и молекул, а потому неизбежно является составной частью и участником эксперимента, который проводит.
Но существует способ обойти возражения Хокинга. Чтобы не сталкиваться с парадоксами, присущими теореме Гёделя, профессиональные математики сегодня поступают очень просто: они заранее исключают из своей работы самоотносимые высказывания. В этом случае теорему о неполноте можно обойти. Вообще, взрывное развитие математики со времен Гёделя в значительной степени достигнуто за счет игнорирования его теоремы о неполноте, т. е. за счет постулирования того факта, что последние работы не допускают самоотносимых высказываний.