Удовольствие от Х (Строгац) - страница 23

Работая в Лос-Аламосе24, я убедился, что Ганс Бете[9] превосходно считает. Как-то раз мы подставляли числа в формулу и добрались до квадрата 48, я уже было потянулся за калькулятором, и тут Ганс сказал:

— Это будет равняться 2300.

Я стал нажимать кнопки, а он продолжил:

— Если вам нужен точный ответ, то 2304.

Калькулятор тоже выдал 2304.

— Ну и дела! Это впечатляет! — воскликнул я.

— Разве вы не знаете, как возвести в квадрат числа, не превышающие 50? — удивился он. — Возводите в квадрат 50 — равно 2500 — и вычитаете 100 раз разность между 50 и вашим числом (в данном случае это 2), так у вас выйдет 2300. Если хотите иметь точное значение, то к этому числу прибавьте квадрат разности. Выйдет 2304.

Трюк Бете основан на тождестве (50 + х)^>2 = 2500 + 100x + х^>2. Он запомнил его и применил при х = –2, так как 48 = 50 – 2. Для интуитивного доказательства этой формулы представьте себе квадратный кусочек ковра со стороной 50 + х.

Его площадь, равная (50 + х) в квадрате, и есть наше искомое. Однако на диаграмме видно, что эта область состоит из квадрата 50 × 50 (в формуле это равно 2500), двух прямоугольников размером 50, умноженное на x, (площадь каждого по 50x; всего 100х), и, наконец, x, умноженное на x, что равно площади х в квадрате.

Такие тождества полезны не только для физиков-теоретиков. Еще одно тождество, подобное тождеству Бете, имеет отношение к любому, кто вкладывает деньги в фондовый рынок25. Предположим, ваши акции катастрофически упали на 50% в одном году, а затем, в следующем, поднялись на 50%. Даже при такой высокой прибыли их стоимость уменьшилась на 25%. Чтобы в этом убедиться, обратите внимание на то, что при подсчете 50% потерь вы умножаете свои деньги на 0,50, а при вычислении 50% прибыли — на 1,50. Если производить эти вычисления одно за другим, то ваши деньги нужно умножить на 0,50 и на 1,50, что составляет 0,75. Другими словами, 25% потерь.

На самом деле вам никогда не вернуться к первоначальной сумме, даже если вы несколько лет подряд будете иметь то потери, то прибыль на одинаковый процент. Алгебра поможет нам понять, почему так происходит. Это следует из тождества

(1 – х) (1 + х) = 1 – x^>2.

В одном году стоимость портфеля акций уменьшалась на коэффициент 1 – x (в примере x = 0,50), а в следующем году увеличивалась на коэффициент 1 + x. Таким образом, абсолютное изменение можно представить в виде выражения (1 – х)(1 + х), в соответствии с формулой, приведенной выше, оно равно 1 – x^>2.

Дело в том, что это выражение для любого х, отличного от 0, всегда меньше 1. Следовательно, вы никогда полностью не компенсируете своих потерь.