Одним из немногих преимуществ утери греческих трудов стал упадок влияния пифагоровых представлений об иррациональных числах. Теория иррациональных чисел не получила твердого фундамента аж до самого Георга Кантора и работ его современника Рихарда Дедекинда – в XIX веке. И тем не менее, со Средних веков и до Дедекинда и Кантора большинство математиков и ученых закрывали глаза на кажущееся несуществование иррациональных чисел и вполне счастливо, хоть и неумело, все равно их применяли. Очевидно, радость получения правильного ответа перевешивала неприятности работы с числами, которых не существует.
В наше время применение «нелегальной» математики – общее место науки, особенно физики. Теория квантовой механики, например, разработанная в 1920–1930-х годах, очень полагалась на нечто придуманное английским физиком Полем Дираком – дельта-функцию. Согласно математике того времени, дельта-функция попросту равнялась нулю. По Дираку же, дельта-функция равна нулю всюду, кроме одной точки, где ее значение – бесконечность, и, если применить эту функцию вместе с определенными методами счисления, она дает ответы одновременно и конечные, и (обычно) отличные от нуля. Позднее французский математик Лоран Шварц смог доказать, что правила математики можно переформулировать так, чтобы допустить существование дельта-функции, и из этого доказательства родилась целая новая область математики [103] . Квантовые теории поля в современной физике в этом смысле тоже можно считать «нелегальными» – во всяком случае, никто пока не смог успешно доказать, говоря математически, что такие теории существуют «по правилам».
Средневековые философы горазды были говорить одно, а записывать другое – или даже писать сначала одно, а потом другое в полном противоречии с первым, лишь бы сберечь шкуру. И вот в середине XIV века Николай Орезмский [104] , позднее – епископ Лизьё, – изобретая графики, не слишком беспокоился о противоречиях, возникающих из-за иррациональных чисел. Орем по умолчанию игнорировал вопрос о том, достаточно ли одних лишь целых и дробных чисел для заполнения базисной прямой графика. Он сосредоточился на том, как приспособить свои новые картинки к анализу количественных отношений.
Графики можно воспринимать как изображение функции, отражающее изменение одного количества в связи с изменением другого. Прибыли компании «Эйвон» от продаж в странах третьего мира в зависимости от времени, сожженные вами калории в зависимости от пройденного расстояния, максимальная дневная температура воздуха в зависимости от географического местоположения – вот они, примеры функций. Любую можно понять, построив ее график. У графика из последнего примера есть специальное название, намекающее на некую более глубинную связь: это карта. Метеорологическая.